Fourier en Laplace transformatie

[Richard122]

Ik ben een tijdje bezig geweest op school met de Fourier en Laplace transformaties en ik snap wel hoe je er mee om moet gaan, maar niet precies wat de achterliggende wiskunde is.

Bij Fourier denk ik dat dit de gedachte er achter is:
Je integreert f(t)e^-iwt van min oneindig tot eindig oftewel je neemt het inproduct van f(t) en e^-iwt. Door het inproduct te nemen, filter je alles er uit wat orthogonaal op e^-iwt staat, dus alle golffuncties met een andere frequentie dan w worden er uit gefilterd. Zo krijg je inderdaad een Fouriergetransformeerde die de "sterkte" van elke frequentie aangeeft. Maar waarom wordt hier e^-iwt voor gebruik en niet e^iwt? Het zijn allebei golffuncties van de vorm e^-iwt = cos(wt) - isin(wt) en e^iwt = cos(wt) + isint(wt). Wat heeft dat minteken voor de sinus voor meerwaarde en waarom wordt het plusteken gebruikt bij de inverse transformatie? Een ander probleem waar ik tegenaan loop: een functie als f(t)=1 heeft ook een spectrum. Het is namelijk geen golffunctie met een andere frequentie dan w en wordt dus niet weggefilterd door de transformatie. Weet iemand hoe ik dat logisch voor me kan zien?

Bij de Laplace transformatie is het me nog minder duidelijk. Wat heeft dat reeele getal in de e-macht voor toegevoegde waarde?

[wnvl]

Je integreert f(t)e^-iwt van min oneindig tot eindig oftewel je neemt het inproduct van f(t) en e^-iwt. Door het inproduct te nemen, filter je alles er uit wat orthogonaal op e^-iwt staat, dus alle golffuncties met een andere frequentie dan w worden er uit gefilterd. Zo krijg je inderdaad een Fouriergetransformeerde die de "sterkte" van elke frequentie aangeeft. Maar waarom wordt hier e^-iwt voor gebruik en niet e^iwt? Het zijn allebei golffuncties van de vorm e^-iwt = cos(wt) - isin(wt) en e^iwt = cos(wt) + isint(wt). Wat heeft dat minteken voor de sinus voor meerwaarde en waarom wordt het plusteken gebruikt bij de inverse transformatie?

Dat is een kwestie van conventie. Het had evengoed andersom gedefinieerd kunnen zijn.

[wnvl]

I
Bij de Laplace transformatie is het me nog minder duidelijk. Wat heeft dat reeele getal in de e-macht voor toegevoegde waarde?

Een veel gestelde vraag op internet fora. Probeer misschien dit eens te lezen

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=155709

[wnvl]

Je integreert f(t)e^-iwt van min oneindig tot eindig oftewel je neemt het inproduct van f(t) en e^-iwt. Door het inproduct te nemen, filter je alles er uit wat orthogonaal op e^-iwt staat, dus alle golffuncties met een andere frequentie dan w worden er uit gefilterd. Zo krijg je inderdaad een Fouriergetransformeerde die de "sterkte" van elke frequentie aangeeft. Maar waarom wordt hier e^-iwt voor gebruik en niet e^iwt? Het zijn allebei golffuncties van de vorm e^-iwt = cos(wt) - isin(wt) en e^iwt = cos(wt) + isint(wt). Wat heeft dat minteken voor de sinus voor meerwaarde en waarom wordt het plusteken gebruikt bij de inverse transformatie?

Dat is een kwestie van conventie. Het had evengoed andersom gedefinieerd kunnen zijn.

Ik maakte me nog de bedenking dat het - teken er ook is om dezelfde vorm te hebben als de Laplace transformatie

vs e