lim sin(x)^(tan²(x) (lim x->pi/2)

[Chill]

lim sin(x)^(tan²(x))
x->pi/2
(dit was een examenvraagt)
antwoord moet e^-1/2 zijn.

Ik kom e^0 uit?

Ik heb dit berekend door

Code: Selecteer alles

tan²(x) * lnsin(x)

<-> lnsin(x)/(1/tan²(x)) (0/0)

<-> cos(x)/sin(x) / [-2sin(x)cos(x)/2cos(x)sin(x)] (Hopital)

<-> [cos(x)*2sin(x)cos(x)]/[-2sin(x)*cos(x)sin(x)]

Hier 2sin(x)cos(x) en -2sin(x)cos(x) schrappen komde -1 uit.

<-> -cos(x) / sin(x)

Stel x-pi/2 = t
x=t+pi/2
als x-> pi/2 dan t-> 0

<-> -cos(t+pi/2) / sin(t+pi/2)
<-> sin(x) / cos(x)
<-> sin(0)/cos(0) = 0/1 = 0?

e^0 kom ik dus uit.. niet -1/2 kan iemand zeggen waar ik fout zit? :p

[SafeX]

Tweede regel is fout ...

Stel eerst eens pi/2-x=u , waarom eigenlijk?

[Chill]

Heb het al gevonden! Toch bedankt! tweede regel was indd fout. ipv hele breuk af te leiden had ik alleen tan²x afgeleidt.

[SafeX]

Ok, laat eens zien ...

[Chill]

tan²x * lnsinx

lnsinx/(1/tan²x) -> (0/0)

cosx/sinx / (-2/(tan³x*cos²x)) -> Afleiden. (sec²x = 1/cos²x)

cosx*tan³x*cos²x / (-2sinx)

cos³x*tan³x / (-2sinx)

cos³x * (sin³x/cos³x) / (-2sinx)

sin³x/-2sinx

= -1/2

-> e^-1/2!

[SafeX]

Gelukt!

Kan je deze limiet ook zonder l'Hopital bepalen?

[Chill]

Normaal gezien wel.. bij een 0/0 moet je dan naar de vorm siny/y werken of tany/y of arcsin, arctan etc.

(1+x)^1/x = e

[[1 + sinx -1] ^(1/(sinx-1)) ] * (sinx-1) * tan²x

= e^(sinx-1 * tan²x)

-> lim pi/2 sinx-1 * tan²x

= 1-1 * oneindig = 0* oneindig -> onbepaaldheid. (geen 0/0)
(sin(x)-1) / (1/tan²x) -> 0/0.

(sin(x)-1) / (1/sin²x/cos²x)

(sin(x)-1) / (cos²x/sin²x)

((sin(x)-1) * sin²x )/ cos²x

Je vult die sin²x al eventjes in want je krijgt toch 1

sin(x)-1 / cos²x

dan iets met de pi/2 doen denk ik want anders zit je nog altijd met die cosinus die je niet wilt


stel x-pi/2 = t
dan x= t+pi/2
als x-> pi/2 t -> 0

dan krijg je

cos(t) -1 / (-sin²t)

goed nieuws want cos(t) -1 kan je naar een sinus vorm omzetten -> -2sin²(t/2)

-2sin²(t/2) / (-sin²t)

Hmm nu zit ik hier wel vast..

zou iets van een t/2 daaronder moeten krijgen maar staat die sin daar nog..

[SafeX]

Niets met e doen, dat vormt geen probleem, de eerste stap is:



En nu stel je pi/2-x=t ... , en gaat het verder om de exponent, dus:




Ken je een basislimiet met ln?

[Chill]

e^lim t->0 -cot²(t)*ln(cost) ?

lim -cos²t/sin²t * ln(cost)
t-0


en hmm nee dat denk ik niet. we hebben daar enkel mee leren afleiden

[SafeX]

Ken je de volgende limiet:

[Chill]

Ja, ik zie hier dat deze als laatste oefening opgegeven is in ons oefenschrift

Laat ik het toch even zonder oplossing proberen

[SafeX]

Bekijk dit eens: f(x)=e^x, dan is:



Dus die basislimiet is ...

[Chill]

Jah de uitkomst is 1, zoals ik in de vorige post toch had berekend? Is dat dan de basislimiet?
Begrijp niet goed wat het begrip "basislimiet" juist inhoud eigenlijk.. nooit zoiets gezien

[arno]

Begrijp niet goed wat het begrip "basislimiet" juist inhoud eigenlijk.. nooit zoiets gezien

Een basislimiet of standaardlimiet is een limiet die je gebruikt om andere limieten te kunnen berekenen. Door de uitdrukking waarvan je de limiet wilt weten op een bepaalde manier te herschrijven kun je dan van bekende basislimieten gebruik maken.

[SafeX]

Jah de uitkomst is 1, zoals ik in de vorige post toch had berekend? Is dat dan de basislimiet?
Begrijp niet goed wat het begrip "basislimiet" juist inhoud eigenlijk.. nooit zoiets gezien

Maar zie je het verschil met wat jij doet ...

De basislimiet is dan:



Als je een limiet moet berekenen en je komt tot deze vorm dan is daarmee het resultaat bepaald.

Je kan dit opvatten als een stelling! Ken je stellingen?

Bv: ...



We zijn er nog niet! Stel eens in deze limiet e^x=y , wat krijg je dan?