Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

kuyt1 · Bericht door **kuyt1** » 21 jan 2013, 14:39

Het gaat om de volgende vergelijking

http://afbeelding.im/MyT0RP

Als eerst heb ik de ratio test uitgevoerd, dit levert mij (2)*(1/2) op wat dus gelijk is aan 1 en kan hier dus geen conclusie worden getrokken of hij divergent of convergent is.

Nu wil ik de vergelijkingstest gaan toepassen, maar weet niet welke stap ik moet zetten nu... kan iemand mij helpen met de uitwerking hiervan?

Bericht door **SafeX** » 21 jan 2013, 14:46

Waarom voer je geen deling uit?

$\frac{4+2^n}{2^{n+2}}=\frac{4}{2^{n+2}}+\frac{2^n}{2^{n+2}}=...$

kuyt1 · Bericht door **kuyt1** » 21 jan 2013, 15:08

Levert de eerste vergelijking dan dit op?
$\frac{4}{2^n^+^2} = \frac{4}{2*2*2^n} = \frac{1}{2^n}$

En de tweede vergelijking
$\frac{2^n}{2^n^+^2} = \frac{2^n}{2*2*2^n} = \frac{1}{4}$

Of mag dit niet?

(wetende dat uitkomsten $\frac{1}{n^1^/^2}$ en $\frac{1}{n}$ divergent zijn)

Bericht door **SafeX** » 21 jan 2013, 15:36

kuyt1 schreef:Levert de eerste vergelijking dan dit op?
$\frac{4}{2^n^+^2} = \frac{4}{2*2*2^n} = \frac{1}{2^n}$

En de tweede vergelijking
$\frac{2^n}{2^n^+^2} = \frac{2^n}{2*2*2^n} = \frac{1}{4}$

Of mag dit niet?

(wetende dat uitkomsten $\frac{1}{n^1^/^2}$ en $\frac{1}{n}$ divergent zijn)

Het zijn geen verg maar termen, verder ok. Wat wordt nu de som, schrijf dat eerst met deze termen ...

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4+2^n}{2^{n+2}}=...$

Bericht door **David** » 21 jan 2013, 15:41

Vrij vertaald

opgave 4 a schreef:Bepaal of de volgend reeks convergeert of divergeert en als die convergeert, bepaal de som:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 + 2^n}{2^{n + 2}}$

kuyt1 · Bericht door **kuyt1** » 21 jan 2013, 16:37

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4+2^n}{2^n^+^2} = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{4}$ = divergent?

Bij het aantonen dat het divergent is ben ik klaar. Indien hij convergent is dan moet ik de sum berekenen. Volgens mij is het antwoord divergent dus ben ik klaar?

Bericht door **SafeX** » 21 jan 2013, 17:01

Je vergeet iets belangrijks ...

kuyt1 schreef: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4+2^n}{2^n^+^2} = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{4}$ = divergent?

Bij het aantonen dat het divergent is ben ik klaar. Indien hij convergent is dan moet ik de sum berekenen. Volgens mij is het antwoord divergent dus ben ik klaar?

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4+2^n}{2^n^+^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{4}\right)$ = divergent?

Waarom is dit divergent?

kuyt1 · Bericht door **kuyt1** » 21 jan 2013, 18:11

SafeX schreef:Je vergeet iets belangrijks ...

kuyt1 schreef: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4+2^n}{2^n^+^2} = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{4}$ = divergent?

Bij het aantonen dat het divergent is ben ik klaar. Indien hij convergent is dan moet ik de sum berekenen. Volgens mij is het antwoord divergent dus ben ik klaar?
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4+2^n}{2^n^+^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{4}\right)$ = divergent?

Waarom is dit divergent?

Vergeet de deling An/Bn? wat oplevert 4/(2^n)?

Bericht door **SafeX** » 22 jan 2013, 10:20

kuyt1 schreef: Vergeet de deling An/Bn? wat oplevert 4/(2^n)?

Wat bedoel je met deze vragen?

Ik vroeg waarom jij tot de (juiste) conclusie komt dat de reeks divergeert?

kuyt1 · Bericht door **kuyt1** » 22 jan 2013, 14:38

Nou in de vergelijkingstest geldt toch het volgende:
$\sum_{n=0}^{\infty}_{A_{n}} , \sum_{n=0}^{\infty}_{B_{n}}$
Lim n--> $\infty = \frac{An}{Bn}$

Maar hij is divergerent omdat het nooit 0 zal bereiken vanwege de constante 1/4 factor?

Bericht door **SafeX** » 22 jan 2013, 15:04

Maar wat is dan An en Bn?

kuyt1 · Bericht door **kuyt1** » 22 jan 2013, 16:05

$\frac{4}{2^n^+^2}$ = An

$\frac{2^n}{2^n^+^2}$ = Bn

Bericht door **SafeX** » 22 jan 2013, 19:02

Formuleer de vergelijkingstest eens ...

kuyt1 · Bericht door **kuyt1** » 22 jan 2013, 19:51

$\frac{4}{2^n^+^2} = \frac{4}{2*2*2^n} = \frac{1}{2^n}$

$\frac{2^n}{2^n^+^2} = \frac{2^n}{2*2*2^n} = \frac{1}{4}$

Vervolgens de deling levert op $\frac{1/2^n}{1/4}$ en dat levert op $\frac{4}{2^n}$

Als je weet dat Bn convergeert en hier komt een getal uit, dan zal An ook convergeren, maar dat is hier niet het geval.

Indien Bn divergeert dan divergeet An ook
Indien An convergeert dan convergeet Bn ook

Bn = 1/4 en divergeet (loopt niet naar 0) dus An divergeet ook.

Bericht door **SafeX** » 22 jan 2013, 21:04

Ok, je hebt m'n vraag zo opgevat.

Ik bedoelde echter de stelling zoals die in je syllabus staat en dan niet betrekken op deze opgave ...

Wiskundeforum

Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest

Re: Serie convergent of divergent? Vergelijkingstest