Extrema van functies van twee variabelen

[SafeX]

f(x,-7)= -x^2 - 18x - 32 <- is een bergparabool dus ja er is een max

f(-9,y)= -2y^2 - 28y + 49 <- is een bergparabool

Kwadraat afsplitsen van de bovenstaande functies?

f(-9,y)= -2y^2 - 28y + 49
f(-9,y)= -2 (y^2 + 14y) + 49
f(-9,y)= -2 (y + 7)^2 + 147

f(x,-7)= -x^2 - 18x - 32
f(x,-7)= -(x + 9)^2 + 49

Bijna goed:

f(x,-7)= -(x + 9)^2 + 49

f(-9,y)= -2 (y + 7)^2 + 49

Ga dit na ...

Je hebt nu dus evenwijdig xz-vlak 'ter hoogte' y=-7 een bergpar en evenwijdig yz-vlak 'ter hoogte' x=-9 eveneens een bergpar.

Wat denk je van je stationaire punt, kan je dat ook met Hesse aantonen?

[Fraxter]

Had niet gezien dat het verder ging op pagina 2. Dus vandaar een wat verlate reactie.


f(-9,y)= -2 (y + 7)^2 + 49 <- waarom is deze niet + 147
Ik dacht dat het zo zat:
f(-9,y)= -2y^2 -28y - 98 + 147
f(-9,y)= -2y^2 -28y + 49

In het boek staat h(a,b) = fxx(a,b)*fyy(a,b) - fxy(a,b)^2

Nu had ik in de eerste post al bepaald wat de fxx, fyy en de fxy was, maar dit zal wel niet correct zijn. Of ze zijn wel correct maar kan ik met het gevonden stationaire punt niet aantonen of het een maximum, minimum of zadelpunt is omdat bovenstaande formule hiervoor niet geschikt is. Wederom loop ik dus vast.

[SafeX]

f(-9,y)= -2 (y + 7)^2 + 49 <- waarom is deze niet + 147
Ik dacht dat het zo zat:
f(-9,y)= -2y^2 -28y - 98 + 147
f(-9,y)= -2y^2 -28y + 49

Je gaat niet ver genoeg terug ... (wel belangrijk!)

Wat vind je logisch?

f(-9,-7) = -81 + 126 - 98 + 36 + 70 - 4 = 49
f(-9,y)= -2 (y + 7)^2 + 49 <- waarom is deze niet + 147

Als je nu in de laatste y=-7 invult wat moet je dan krijgen?


Nu Hesse: wat vind je met jouw berekening?

[Fraxter]

Idd als je y = -7 invult moet er uiteindelijk 49 uitkomen. Zoals bepaald bij f(-9,-7). Dit is duidelijk.

Nu verder. De volgende f's zijn bepaald:
fx(x,y) = -2x + 2y - 4
fxx(x,y) = -2
fxy(x,y) = 2

fy(x,y) = 2x - 4y -10
fyy(x,y) = -4
fyx(x,y) = 2

Hesse formule:
h(a,b) = fxx(a,b)*fyy(a,b) - fxy(a,b)^2
h(a,b) = -2*-4 - 2^2 = 8 - 4 = 4
h(a,b) = > 0 , namelijk 4 en fxx(a,b) < 0, namelijk -2. Dit betekend een maximum in (a,b) waarin a = -9 en b = -7

Klopt dit zo?

[SafeX]

Klopt!

Maar vind je Hesse nog nodig?

[Fraxter]

Nee Hesse is eigenlijk overbodig volgens mij. Twee bergparabolen maken een maximum, twee dal parabolen een minimum en een berg en een dal een zadelpunt. In dit geval waren en er twee berg parabolen en was het dus een maximum.

[SafeX]

Nee Hesse is eigenlijk overbodig volgens mij. Twee bergparabolen maken een maximum, twee dal parabolen een minimum en een berg en een dal een zadelpunt. In dit geval waren en er twee berg parabolen en was het dus een maximum.

Verder kan je opmerken dat:

f(x,y)=-(x-y)^2-y^2-4x-10y-4

dit betekent dat voor |x| en |y| groot genoeg f(x,y)<0