Hoe primitieve netjes uit te rekenen?

[Vero]

Hoi, ik kan de uitkomst wel berekenen, maar ik weet niet hoe ik het netjes moet opschrijven.
De functie: f(t) = 1 / (1+e^t).
Stap 1: dit lijkt erg op h(x) = 1 / x met H(x) = ln x (+C voor de liefhebbers).

F(t) = ln(1+e^t) + C , maar er ontbreekt natuurlijk nog iets want
F'(t) = e^t / (1 + e^t) en wat ontbreek is (1-e^t) / (1 + e^t).

Stap 2: f(t) = 1 / (1 + e^t) = (e^t + 1 - e^t ) / (1 + e^t) = (1+e^t)/(1+e^t) - (e^t)/ (1+e^t) = 1 - (e^t)/ (1+e^t)
Hieruit volgt:
F(t) = x - ln(1+e^t) {+C}
Maar hoe schrijf ik dit nu netjes op zoals in f(t) = 1 / a(t) => F(t) = ln(a(t) + A(t) + C ?

[SafeX]

Hoi, ik kan de uitkomst wel berekenen, maar ik weet niet hoe ik het netjes moet opschrijven.
De functie: f(t) = 1 / (1+e^t).

Hoe kan je nu de breuk (integrand) vereenvoudigen?

[Vero]

Hoi,
Dit begrijp ik wel. Het is inderdaad een nette vorm van het resultaat presenteren.
Maar het werk daarvoor, het uitrekenen dat je inderdaad ipv 1 / (1 + e^t) juist (1 + e^t - e^t) / (1 _ e^t) moet schrijven, wil ik ook netjes noteren. M.a.w. de rekenstappen die ik heb gedaan om tot de conclusie te komen dat ik 1 / (1 + e^t) anders moet opschrijven.
Begrijp je mijn vraag?

[SafeX]

Hoi,

Begrijp je mijn vraag?

Eerlijk gezegd niet ...
Je kan dit toch gebruiken om dat 'op jouw manier' 'netjes' op te schrijven.
Je zou het iig kunnen proberen, dan kunnen we nog altijd even verder kijken ...

[Vero]

Hoi, ik weet niet hoe deze formule editor werkt, maar het is als volgt:

INT 1 / (1+e^t) = INT (1 + e^t - e^t) / (1+e^t) = : zie opmerking 1
INT (1 + e^t) / (1+e^t) - e^t / (1+e^t) =
INT 1 - e^t / (1+e^t) =>
De primitieve is x- ln( 1 + e^t) + C

Mijn punt is dat ik geen enkel probleem heb om dit resultaat te berekenen, maar dat ik DE BEREKENING niet netjes kan opschrijven (het RESULTAAT dankzij jou nu wel).
Opmerking 1: hoe weet je nu dat je INT 1 / (1+e^t) moet herschrijven als INT 1 - e^t / (1+e^t) ? Ik bedoel uit de stappen zoals hierboven opgeschreven, lijkt het alsof iedere stap logisch is en volgt uit de vorige en dat je geen andere kennis nodig hebt.

Bij mij is dat niet zo. Ik heb eerst ln(1+e^t)als primitieve genomen en daarna berekent wat ik miste door de afgeleide te berekenen. Ik miste: (1 - e^t) / (1+e^t).
Doordat ik dit wist, wist ik ook hoe ik de oorspronkelijke formule, netjes stap voor stap kon omvormen. Maar hiervoor moest ik wel eerst rekenen en ontdekken wat ontbrak. Ik weet niet hoe ik juist dit rekenwerk netjes op kan schrijven.

Off topic: ik ben nu 46 en ik had altijd een 9 of hoger voor wiskunde op het VWO en de universiteit, maar ik gebruik al 20 jaar geen wiskunde meer, maar moet dit wel kunnen uitleggen aan mijn kinderen.

[SafeX]

Ok, gelukkig weet ik nu iets meer ...

Eigenlijk heb je dat in je eerste post al heel goed gedaan, dus ...
het lijkt op het primitiveren van 1/x, met primitieve ln|x|

Een poging.
Stel nu ln(1+e^t) is je primitieve, klopt dat? (waarom mag ik de || weglaten?)
Controleren betekent: differentiëren (naar t) dat geeft e^t/(1+e^t). Conclusie het klopt niet helemaal, kunnen we dat repareren, maw kunnen we van 1/(1+e^t) maken e^t/(1+e^t)+ ...
Proberen: 1/(1+e^t)=e^t/(1+e^t)+f(t) => f(t)=e^t/(1+e^t)-1/(1+e^t)=(e^t-1)/(1+e^t), dat helpt niet veel lijkt het ... ???
Maar als we uitgaan van f(t)=-e^t/(1+e^t)-1/(1+e^t)=-(e^t+1)/(1+e^t)=-1 (onafh van t) AH!

Ga zelf eens verder ...

[SafeX]

Even nog de editor:



Je kan dit resultaat bekijken door het bericht te kopiëren, speel er eens mee.
\frac komt van fraction/breuk

Er is ook een rubriek in dit forum: TeX hulp