Binaire relaties, reflexief, symmetrisch etc. etc.

RemcoAruba · Bericht door **RemcoAruba** » 26 feb 2013, 22:52

Ik ben momenteel bezig met een zelfstudie wiskunde en heb moeite om het principe met binaire relaties te begrijpen.
Als ik de tekst doorlees, dan klinkt het allemaal logisch, maar bij de eerste beste opgave loop ik helemaal vast. Schijnbaar begrijp ik het dus toch niet.

Bijvoorbeeld de volgende vraag:
Onderzoek de eigenschappen van de volgende relatie (x,y element van Z):
$xRy \leftrightarrow ((x>0 \land y>0) \vee (x<0 \landy<0 ))$

Nu blijkt uit de antwoorden dat deze relatie Symmetrisch en Transitief is.
Maar waarom?

Symmetrisch houdt volgens mij in dat voor elk paar xRy ook het paar yRx moet voorkomen.
Dus vul ik bijvoorbeeld 2R1 in voor het eerste gedeelte $(x>0 \wedge y>0)$ .
Omgekeerd 1R2 komt ook voor, dus dat zit dan goed. Het tweede gedeelte zit na het of-teken, dus die hoef ik niet te testen omdat het een of-teken is. Heb ik dat goed begrepen?

Dan transitief.
In het boek staat als het paar (x,y) en het paar (y,z) voorkomt, dan ook het paar (x,z). Oke, dat begrijp ik. Maar de relatie heeft maar 2 variabelen. Hoe kom ik dan aan die z?

Bericht door **arie** » 27 feb 2013, 01:14

RemcoAruba schreef:Onderzoek de eigenschappen van de volgende relatie (x,y element van Z):
$xRy \leftrightarrow ((x>0 \land y>0) \vee (x<0 \landy<0 ))$

Je bedoelt:

$xRy \leftrightarrow ((x>0 \land y>0) \vee (x<0 \land y<0 ))$

RemcoAruba schreef:Symmetrisch houdt volgens mij in dat voor elk paar xRy ook het paar yRx moet voorkomen.

Klopt.

RemcoAruba schreef: Dus vul ik bijvoorbeeld 2R1 in voor het eerste gedeelte $(x>0 \wedge y>0)$ .
Omgekeerd 1R2 komt ook voor, dus dat zit dan goed. Het tweede gedeelte zit na het of-teken, dus die hoef ik niet te testen omdat het een of-teken is. Heb ik dat goed begrepen?

Met 1 enkel voorbeeld kom je er niet: de equivalentie moet altijd gelden, dus voor alle x en y.

Volgens de definitie geldt:

$xRy \leftrightarrow ((x>0 \land y>0) \vee (x<0 \land y<0 ))$

dus volgens deze definitie is ook

$yRx \leftrightarrow ((y>0 \land x>0) \vee (y<0 \land x<0 ))$

Kan je vervolgens hieruit afleiden:

$xRy \leftrightarrow yRx$

RemcoAruba schreef: Dan transitief.
In het boek staat als het paar (x,y) en het paar (y,z) voorkomt, dan ook het paar (x,z). Oke, dat begrijp ik. Maar de relatie heeft maar 2 variabelen. Hoe kom ik dan aan die z?

Pas de relatie toe op elk tweetal:

$xRy \land yRz \Rightarrow xRz$

Neem nu onze relatie R: xRy <=> (x en y beide positief) OF (x en y beide negatief)
Kan je bewijzen dat als (x en y aan R voldoen) EN (y en z aan R voldoen) dat dan ook (x en z aan R voldoen)?

RemcoAruba · Bericht door **RemcoAruba** » 27 feb 2013, 19:49

arie schreef: Neem nu onze relatie R: xRy <=> (x en y beide positief) OF (x en y beide negatief)
Kan je bewijzen dat als (x en y aan R voldoen) EN (y en z aan R voldoen) dat dan ook (x en z aan R voldoen)?

Ik kan bewijzen dat x en y aan R voldoen. Ik kan ook best bewijzen dat y en z aan R voldoen, maar ik weet niet waar ik die z vandaan moet halen.
Wat is die z? Dat begrijp ik niet.

Wat ik er (denk ik) van begrijp is het volgende;
x is een component van Z (in deze opgave dan).
y is ook een component van Z.
R is de relatie tussen een x-component en een y-component uit het cartesisch product van Z. Dus eigenlijk alle mogelijke relaties. Gekoppeld aan deze relatie is een eigenschap zodat maar een deel van het cartesisch product in aanmerking komt om tot een relatie in aanmerking te komen. In dit geval $((x>0 \land y>0) \vee (x<0 \land y<0 ))$
Maar om te komen tot $xRy \land yRz \Rightarrow xRz$ heb ik een z nodig. En ik begrijp niet waar die vandaan komt.

Bericht door **arie** » 27 feb 2013, 21:08

x, y en z zijn 3 variabelen, alle drie element van Z.
Bijvoorbeeld:
x=1, y=3, z=8
dan geldt
1R3 en 3R8 en 1R8.

Om te bewijzen dat R transitief is moeten we voor alle elementen x, y en z uit Z aantonen dat:
ALS gegeven is dat (xRy EN yRz) DAN is ook xRz
Merk op: we tonen niet aan dat xRy en/of yRz, maar we gaan uit van het gegeven dat xRy en yRz. We moeten dan bewijzen dat in dat geval ook geldt xRz.

In dit geval is het handig je bewijs te splitsen in:
[1] y>0
[2] y<0

Situatie [1]: y>0:
[1a] Stel y>0 EN xRy, wat geldt dan voor x?
[1b] Stel y>0 EN yRz, wat geldt dan voor z?
Wat volgt nu voor x en z?

Doe hetzelfde voor situatie [2]

Wat geldt nu dus voor xRz ?

RemcoAruba · Bericht door **RemcoAruba** » 27 feb 2013, 21:54

arie schreef: Situatie [1]: y>0:
[1a] Stel y>0 EN xRy, wat geldt dan voor x?
[1b] Stel y>0 EN yRz, wat geldt dan voor z?
Wat volgt nu voor x en z?

1a; Als y>0 EN xRy, dan moet x>0 zijn. Als x=<0 dan is het geen xRy, klopt dat?
1b; Als y>0 EN yRz, dan moet z>0 zijn. Want als z=<0 dan kan yRz niet.

arie schreef: Doe hetzelfde voor situatie [2] y<0
Wat geldt nu dus voor xRz ?

1a; Als y<0 EN xRy, dan moet x<0 zijn.
1b; Als y<0 EN yRz, dan moet z<0 zijn.

Dus als bovenstaande waar is voor situatie 1 of 2, dan is het transitief in dit geval.

Maar wat als x=1, y=3, z=-1 kies, dan is het nog steeds een transitieve relatie, want er staat:
$xRy \leftrightarrow ((x>0 \land y>0) \vee (x<0 \land y<0 ))$
Dit zou betekenen dat de het eerste deel $xRy \leftrightarrow (x>0 \land y>0)$ False is, maar het tweede deel True. Aangezien er OF staat is het True.

Maar als er nu staat
$xRy \leftrightarrow ((x>0 \land y>0) \land (x<0 \land y<0 ))$
Dan zou de functie niet transitief zijn, want er staat nu een EN in plaats van een OF, dus de relatie is False.

Begrijp ik het zo goed?

Bericht door **arie** » 27 feb 2013, 23:48

RemcoAruba schreef: 1a; Als y>0 EN xRy, dan moet x>0 zijn. Als x=<0 dan is het geen xRy, klopt dat?
1b; Als y>0 EN yRz, dan moet z>0 zijn. Want als z=<0 dan kan yRz niet.

Klopt:
$y>0 \land xRy \Rightarrow x>0$
en
$y>0 \land yRz \Rightarrow z>0$
dus ook:
$y>0 \land xRy \land yRz \Rightarrow x>0 \land z>0 \Rightarrow xRz$

RemcoAruba schreef: 2a; Als y<0 EN xRy, dan moet x<0 zijn.
2b; Als y<0 EN yRz, dan moet z<0 zijn.

$y<0 \land xRy \Rightarrow x<0$
en
$y<0 \land yRz \Rightarrow z<0$
dus ook:
$y<0 \land xRy \land yRz \Rightarrow x<0 \land z<0 \Rightarrow xRz$

RemcoAruba schreef: Dus als bovenstaande waar is voor situatie 1 of 2, dan is het transitief in dit geval.

Bovenstaande is waar voor situatie 1 EN 2, dus geldt het voor alle x, y en z:

$\forall_{x,y,z}: xRy \land yRz \Rightarrow xRz$

en dit moesten we bewijzen.

RemcoAruba schreef: Maar wat als x=1, y=3, z=-1 kies, dan is het nog steeds een transitieve relatie, want er staat:
$xRy \leftrightarrow ((x>0 \land y>0) \vee (x<0 \land y<0 ))$
Dit zou betekenen dat de het eerste deel $xRy \leftrightarrow (x>0 \land y>0)$ False is, maar het tweede deel True. Aangezien er OF staat is het True.

$(1,3) \in R$
maar
$(1,-1) \notin R$
Maar nu heb je het over de vraag of een tweetal (a,b) wel of geen element is van R.
Dit is wat anders dan het aantonen van transitiviteit waarbij we moeten bewijzen dat voor elk tweetal (a,b) in R en elk tweetal (b,c) in R ook geldt dat (a,c) in R zit.

RemcoAruba schreef: Maar als er nu staat
$xRy \leftrightarrow ((x>0 \land y>0) \land (x<0 \land y<0 ))$
Dan zou de functie niet transitief zijn, want er staat nu een EN in plaats van een OF, dus de relatie is False.
Begrijp ik het zo goed?

Dit is een lege relatie: x kan niet tegelijkertijd kleiner dan nul EN groter dan nul zijn.
Hetzelfde geldt voor y.

Wiskundeforum

Binaire relaties, reflexief, symmetrisch etc. etc.

Binaire relaties, reflexief, symmetrisch etc. etc.

Re: Binaire relaties, reflexief, symmetrisch etc. etc.

Re: Binaire relaties, reflexief, symmetrisch etc. etc.

Re: Binaire relaties, reflexief, symmetrisch etc. etc.

Re: Binaire relaties, reflexief, symmetrisch etc. etc.

Re: Binaire relaties, reflexief, symmetrisch etc. etc.