Diffusievergelijking
Diffusievergelijking
Los de diffusievergelijking met de beginvoorwaarde op met de volgende speciale methode. Toon eerst aan dat voldoet aan de diffusievergelijking met 'zero' beginvoorwaarde. Daardoor geldt door uniciteit dat . Door het resultaat driemaal te integreren, levert dat op. Uiteindelijk is het makkelijk om dit op te lossen voor door het originele probleem te gebruiken.
---
Als ik het goed begrijp moet ik dus aantonen dat met ? Dan leek het mij om te stellen dat zodat de vergelijking wordt, maar dan zit ik in de knoop met die beginvoorwaarde.
Het tweede stuk begrijp ik wel beter, hoe je van tot komt (logisch). Maar hoe je dan kunt bepalen gaat me minder gemakkelijk af.
.
Verder
Dus
Aan de rechterkant komen geen 's voor, maar links wel. Dat moet dus betekenen dat het stuk met 's 0 moet zijn, toch?
Dan . valt af als oplossing, want volgens mij is die variabel. Dus:
, maar dit klopt volgens mij niet. en bevatten geen , maar die vergelijking impliceert dat of of bevat, dus dat is een tegenspraak.
Iemand die me hiermee kan helpen? Alvast bedankt.
---
Als ik het goed begrijp moet ik dus aantonen dat met ? Dan leek het mij om te stellen dat zodat de vergelijking wordt, maar dan zit ik in de knoop met die beginvoorwaarde.
Het tweede stuk begrijp ik wel beter, hoe je van tot komt (logisch). Maar hoe je dan kunt bepalen gaat me minder gemakkelijk af.
.
Verder
Dus
Aan de rechterkant komen geen 's voor, maar links wel. Dat moet dus betekenen dat het stuk met 's 0 moet zijn, toch?
Dan . valt af als oplossing, want volgens mij is die variabel. Dus:
, maar dit klopt volgens mij niet. en bevatten geen , maar die vergelijking impliceert dat of of bevat, dus dat is een tegenspraak.
Iemand die me hiermee kan helpen? Alvast bedankt.
Re: Diffusievergelijking
Zoals je waarschijnlijk wel weet, is de normale methode
Ruimtelijke en tijdscomponent zien er dus als volgt uit:
Uit de beginvoorwaarde haal je de coëfficiënten van de componenten van enz.
We verifieren nu of een component ook een oplossing is.
We leiden LL en RL 3 maal af naar
Dus is een oplossing. Begin voorwaarde is voor deze oplossing . Zoals je aangaf is wegens de uniciteit .
Ruimtelijke en tijdscomponent zien er dus als volgt uit:
Uit de beginvoorwaarde haal je de coëfficiënten van de componenten van enz.
We verifieren nu of een component ook een oplossing is.
We leiden LL en RL 3 maal af naar
Dus is een oplossing. Begin voorwaarde is voor deze oplossing . Zoals je aangaf is wegens de uniciteit .
Re: Diffusievergelijking
Dus ...Brent schreef:
Verder
Re: Diffusievergelijking
Volgens mij volg ik dit wel. Bedankt!wnvl schreef:Zoals je waarschijnlijk wel weet, is de normale methode
Ruimtelijke en tijdscomponent zien er dus als volgt uit:
Uit de beginvoorwaarde haal je de coëfficiënten van de componenten van enz.
We verifieren nu of een component ook een oplossing is.
We leiden LL en RL 3 maal af naar
Dus is een oplossing. Begin voorwaarde is voor deze oplossing . Zoals je aangaf is wegens de uniciteit .
Wat bedoel je trouwens met LL en RL? Linker- en rechterzijde van de vergelijking?
Oh, moet ik gewoon heel suf stellen dat en zodat het wordt? Dat betekent dat met constanten. Dan , dus .wnvl schreef:Dus ...Brent schreef:
Verder
Dus:
Dat betekent dat , toch?
Dan
Alleen ben ik er dan nog niet zeker over of dat wel klopt met wat er eerder gedaan wordt, want ik vind geen functies , zodat aangezien dat een som is.
Re: Diffusievergelijking
LL = linkerlidBrent schreef: Wat bedoel je trouwens met LL en RL? Linker- en rechterzijde van de vergelijking?
RL = rechterlid
Re: Diffusievergelijking
Dat hoeft ook niet, maar welBrent schreef: Alleen ben ik er dan nog niet zeker over of dat wel klopt met wat er eerder gedaan wordt, want ik vind geen functies , zodat aangezien dat een som is.
Re: Diffusievergelijking
Ah, oké. En dat is de som voor alle ?wnvl schreef:Dat hoeft ook niet, maar welBrent schreef: Alleen ben ik er dan nog niet zeker over of dat wel klopt met wat er eerder gedaan wordt, want ik vind geen functies , zodat aangezien dat een som is.
Re: Diffusievergelijking
Ik heb eens geprobeerd om de diffusievgl numeriek op te lossen met Matematica.
Matematica toont deze oplossing:
Je ziet duidelijk dat u lineair stijgt in de tijd (0->100000). Wat de correctheid van onze oplossing bevestigt.
Code: Selecteer alles
k = 1;
L = 100;
T = 100000;
system = {D[u[x, t], {t, 1}] == k*D[u[x, t], {x, 2}], u[x, 0] == x^2};
sol = NDSolve[system, u, {x, -L, L}, {t, 0, T}];
Plot3D[Evaluate[First[u[x, t] /. sol]], {x, -L, L}, {t, 0, T}]
Je ziet duidelijk dat u lineair stijgt in de tijd (0->100000). Wat de correctheid van onze oplossing bevestigt.
Re: Diffusievergelijking
Oké, dat is mooi. Bedankt!