Diffusievergelijking

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Diffusievergelijking

Bericht door Brent » 07 mar 2013, 13:24

Los de diffusievergelijking met de beginvoorwaarde op met de volgende speciale methode. Toon eerst aan dat voldoet aan de diffusievergelijking met 'zero' beginvoorwaarde. Daardoor geldt door uniciteit dat . Door het resultaat driemaal te integreren, levert dat op. Uiteindelijk is het makkelijk om dit op te lossen voor door het originele probleem te gebruiken.

---

Als ik het goed begrijp moet ik dus aantonen dat met ? Dan leek het mij om te stellen dat zodat de vergelijking wordt, maar dan zit ik in de knoop met die beginvoorwaarde.


Het tweede stuk begrijp ik wel beter, hoe je van tot komt (logisch). Maar hoe je dan kunt bepalen gaat me minder gemakkelijk af.

.

Verder


Dus
Aan de rechterkant komen geen 's voor, maar links wel. Dat moet dus betekenen dat het stuk met 's 0 moet zijn, toch?

Dan . valt af als oplossing, want volgens mij is die variabel. Dus:
, maar dit klopt volgens mij niet. en bevatten geen , maar die vergelijking impliceert dat of of bevat, dus dat is een tegenspraak.


Iemand die me hiermee kan helpen? Alvast bedankt.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Diffusievergelijking

Bericht door wnvl » 07 mar 2013, 17:50

Zoals je waarschijnlijk wel weet, is de normale methode



Ruimtelijke en tijdscomponent zien er dus als volgt uit:





Uit de beginvoorwaarde haal je de coëfficiënten van de componenten van enz.


We verifieren nu of een component ook een oplossing is.



We leiden LL en RL 3 maal af naar



Dus is een oplossing. Begin voorwaarde is voor deze oplossing . Zoals je aangaf is wegens de uniciteit .

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Diffusievergelijking

Bericht door wnvl » 07 mar 2013, 18:00

Brent schreef:
Verder
Dus ...

Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Diffusievergelijking

Bericht door Brent » 13 mar 2013, 10:03

wnvl schreef:Zoals je waarschijnlijk wel weet, is de normale methode



Ruimtelijke en tijdscomponent zien er dus als volgt uit:





Uit de beginvoorwaarde haal je de coëfficiënten van de componenten van enz.


We verifieren nu of een component ook een oplossing is.



We leiden LL en RL 3 maal af naar



Dus is een oplossing. Begin voorwaarde is voor deze oplossing . Zoals je aangaf is wegens de uniciteit .
Volgens mij volg ik dit wel. Bedankt!
Wat bedoel je trouwens met LL en RL? Linker- en rechterzijde van de vergelijking?
wnvl schreef:
Brent schreef:
Verder
Dus ...
Oh, moet ik gewoon heel suf stellen dat en zodat het wordt? Dat betekent dat met constanten. Dan , dus .

Dus:



Dat betekent dat , toch?
Dan

Alleen ben ik er dan nog niet zeker over of dat wel klopt met wat er eerder gedaan wordt, want ik vind geen functies , zodat aangezien dat een som is.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Diffusievergelijking

Bericht door wnvl » 13 mar 2013, 19:08

Brent schreef: Wat bedoel je trouwens met LL en RL? Linker- en rechterzijde van de vergelijking?
LL = linkerlid
RL = rechterlid

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Diffusievergelijking

Bericht door wnvl » 13 mar 2013, 19:23

Brent schreef: Alleen ben ik er dan nog niet zeker over of dat wel klopt met wat er eerder gedaan wordt, want ik vind geen functies , zodat aangezien dat een som is.
Dat hoeft ook niet, maar wel

Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Diffusievergelijking

Bericht door Brent » 13 mar 2013, 21:19

wnvl schreef:
Brent schreef: Alleen ben ik er dan nog niet zeker over of dat wel klopt met wat er eerder gedaan wordt, want ik vind geen functies , zodat aangezien dat een som is.
Dat hoeft ook niet, maar wel
Ah, oké. En dat is de som voor alle ?

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Diffusievergelijking

Bericht door wnvl » 13 mar 2013, 23:40

Ik heb eens geprobeerd om de diffusievgl numeriek op te lossen met Matematica.

Code: Selecteer alles

k = 1;
L = 100;
T = 100000;
system = {D[u[x, t], {t, 1}] == k*D[u[x, t], {x, 2}], u[x, 0] == x^2};
sol = NDSolve[system, u, {x, -L, L}, {t, 0, T}];
Plot3D[Evaluate[First[u[x, t] /. sol]], {x, -L, L}, {t, 0, T}]
Matematica toont deze oplossing:

Afbeelding

Je ziet duidelijk dat u lineair stijgt in de tijd (0->100000). Wat de correctheid van onze oplossing bevestigt.

Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Diffusievergelijking

Bericht door Brent » 14 mar 2013, 22:25

Oké, dat is mooi. Bedankt!

Plaats reactie