Analyse voor Beginners - A. van Rooij

jeroend · Bericht door **jeroend** » 14 mar 2013, 00:46

Hallo,
Ik ben in Analyse voor Beginners van A. van Rooij (Epsilon Uitgaven, Utrecht 1996) bezig met de laatste opgaven van paragraaf 7 en loop daar vast. Het gaat om opgave 7J op bladzijde 67:
$\textrm{Bereken }\lim_{n \to \infty } \left (\frac{\sqrt[n]{5} + \sqrt[n]{3}}{2} \right )^{n}$

Als aanwijzing wordt gegeven: zie de vorige opgave 7I. Die opgave luidt:

$\textrm{Laat }{x_{1},x_{2},\cdots\in \mathbb{R}\textrm{, } L \in \mathbb{R} \textrm{ en }\lim_{n \to \infty} n{x_{n}} = L$

Bewijs dan dat

$\lim_{n \to \infty } n \log_{e} \left ( 1+{x_{n}} \right )= L \textrm{ en } \lim_{n \to \infty } \left ( 1+{x_{n}} \right )^{n}= e^{L}$

Die twee bewijzen heb ik kunnen leveren, maar ik heb geen idee hoe ze me bij deze opgave van pas kunnen komen. Wie helpt me op weg?

Bericht door **op=op** » 14 mar 2013, 14:14

Kortom,
hoe kom je van
$\lim_{n \to \infty } \left (\frac{\sqrt[n]{5} + \sqrt[n]{3}}{2} \right )^{n}$
naar
$\lim_{n \to \infty } \left ( 1+{x_{n}} \right )^{n}= e^{L}$

Wat moet je buiten haakjes brengen om die "1 +" te krijgen.

jeroend · Bericht door **jeroend** » 14 mar 2013, 16:30

Daar heb ik ook aan gedacht, om te komen tot een vorm van $\left ( 1+a_{n} \right )^{n}$
Maar die $a_{n}$ moet ook zo'n vorm hebben dat de $\lim_{n \to \infty } n a_{n}$ bestaat.
Als ik $\sqrt[n]{5}$ buiten haakjes haal, krijg ik dit $5\left ( \frac{1+\sqrt[n]{\frac{3}{5}}}{2} \right )^{n}$ , en daar ik niet veel wijzer van, ook niet als ik het in de gewenste vorm van 1+… breng, die er dan zo uit ziet $5\left ( 1+\frac{\sqrt[n]{\frac{3}{5}}-1}{2} \right )^{n}$ . De $\lim_{n \to \infty} n\left (\frac{\sqrt[n]{\frac{3}{5}}-1}{2} \right )$ bestaat volgens mij namelijk niet.

Bericht door **op=op** » 14 mar 2013, 17:43

De limiet $\lim_{n \to \infty} n\left (\frac{\sqrt[n]{\frac{3}{5}}-1}{2} \right )$ bestaat wel degelijk.

Vind voor 0<a<1 de limiet
$\lim_{n \to \infty} n\left (\sqrt[n]{a}-1 \right )$

Hint:
$n\left (\sqrt[n]{a}-1 \right ) = \frac{a^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}$

jeroend · Bericht door **jeroend** » 15 mar 2013, 00:00

Nu zie ik het:
$L = \lim_{n \to \infty}n\left ( \frac{\sqrt[n]{\frac{3}{5}} -1}{2}\right ) = \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty}n\left ( \sqrt[n]{\frac{3}{5}} -1\right ) = \frac{1}{2}\log_{e} \left ( \frac{3}{5} \right )$
De opgave is nu verder duidelijk:
$\lim_{n \to \infty}\left ( \frac{\sqrt[n]{5} +\sqrt[n]{3}}{2}\right )^n =\lim_{n \to \infty}5\left ( 1+\frac{\sqrt[n]{\frac{3}{5}}-1}{2}\right )^n=5 e^{L}=5e^{\frac{1}{2}\log_{e} \left ( \frac{3}{5} \right )}= 5e^{log_{e}\sqrt{\frac{3}{5}}}= \sqrt{15}$
Ik was er heel dicht bij, maar ik zag de logaritme niet in die limiet, terwijl in de betreffende paragraaf de formule
$\log_{e} x = \lim_{n \to \infty}n\left ( \sqrt[n]{x}-1\right )\textrm{ voor alle } x>0$
duidelijk vermeld staat.
Een laatste vraag nog over de hint. Wat bedoel er precies mee? Want $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$
en als je niet bedoelde te wijzen op $\log_{e} a$ als uitkomst dan lijkt de hint te wijzen op nul gedeeld door nul als uitkomst van de limiet.
In ieder geval bedankt voor de hulp.

Bericht door **op=op** » 15 mar 2013, 11:32

Ik wist niet dat de limiet
$\log_{e} x = \lim_{n \to \infty}n\left ( \sqrt[n]{x}-1\right )\textrm{ voor alle } x>0$
bekend was.
Het is de afgeleide van $y\mapsto x^y$ in 0. (Maar dat loopt misschien vooruit op de cursus).

Wiskundeforum

Analyse voor Beginners - A. van Rooij

Analyse voor Beginners - A. van Rooij

Re: Analyse voor Beginners - A. van Rooij

Re: Analyse voor Beginners - A. van Rooij

Re: Analyse voor Beginners - A. van Rooij

Re: Analyse voor Beginners - A. van Rooij

Re: Analyse voor Beginners - A. van Rooij