Chebyshev polynomen

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Chebyshev polynomen

Bericht door Kinu » 24 mar 2013, 16:06

Hallo,

Ik moet volgende betrekking aantonen:


hierbij is een Chebyshev polynoom van graad gedefinieerd als .

Ik ben eerst begonnen met een substitutie. Stel en dus wordt de integraal


Om deze integraal te berekenen dacht ik om gebruik te maken van de Maclaurinreeks van waardoor de integraal kan herschreven worden als:



De integraal die ik nu heb kan ik niet berekenen, ik denk dat in het algemeen voor geldt zodanig dat enkel overblijft
, maar dan zou ik nog moeten bewijzen dat


Ik heb echter geen idee hoe? Iemand?

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Chebyshev polynomen

Bericht door wnvl » 25 mar 2013, 00:28

Idee:


Vertrekkend van



uit het antwoord van Aaron op deze vraag op SE

http://math.stackexchange.com/questions ... with-cos-x

heb je deze formule voor


Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Chebyshev polynomen

Bericht door wnvl » 25 mar 2013, 00:49

Kinu schreef:
Deze gelijkheid is niet correct, bvb.

Code: Selecteer alles

l = 7;
m = 7;
Integrate[(Cos[x])^l * (Cos[m*x]), {x, 0, Pi}]

levert op volgens Matematica.


Mogen integraal en som in je post wel omgewisseld worden?

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Chebyshev polynomen

Bericht door op=op » 25 mar 2013, 09:34



Dan


en dus


Konjugeer


en tel de resultaten bij elkaar op


Het is snel in te zien dat voor ieder geheel getal .

Dus en


Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Chebyshev polynomen

Bericht door op=op » 25 mar 2013, 12:04

Een aardige manier om het probleem op te lossen is via de orthogonaliteitsrelaties.
Toon eerst aan dat

Plaats reactie