Hallo,
Ik moet volgende betrekking aantonen:
hierbij is een Chebyshev polynoom van graad gedefinieerd als .
Ik ben eerst begonnen met een substitutie. Stel en dus wordt de integraal
Om deze integraal te berekenen dacht ik om gebruik te maken van de Maclaurinreeks van waardoor de integraal kan herschreven worden als:
De integraal die ik nu heb kan ik niet berekenen, ik denk dat in het algemeen voor geldt zodanig dat enkel overblijft
, maar dan zou ik nog moeten bewijzen dat
Ik heb echter geen idee hoe? Iemand?
Chebyshev polynomen
Re: Chebyshev polynomen
Idee:
Vertrekkend van
uit het antwoord van Aaron op deze vraag op SE
http://math.stackexchange.com/questions ... with-cos-x
heb je deze formule voor
Vertrekkend van
uit het antwoord van Aaron op deze vraag op SE
http://math.stackexchange.com/questions ... with-cos-x
heb je deze formule voor
Re: Chebyshev polynomen
Deze gelijkheid is niet correct, bvb.Kinu schreef:
Code: Selecteer alles
l = 7;
m = 7;
Integrate[(Cos[x])^l * (Cos[m*x]), {x, 0, Pi}]
levert op volgens Matematica.
Mogen integraal en som in je post wel omgewisseld worden?
Re: Chebyshev polynomen
Dan
en dus
Konjugeer
en tel de resultaten bij elkaar op
Het is snel in te zien dat voor ieder geheel getal .
Dus en
Re: Chebyshev polynomen
Een aardige manier om het probleem op te lossen is via de orthogonaliteitsrelaties.
Toon eerst aan dat
Toon eerst aan dat