analytische functies op het volledige complexe vlak

eva_V · Bericht door **eva_V** » 26 mar 2013, 11:51

Ik moet een opgave maken ivm complexe analyse, maar ik heb geen flauw idee hoe ik eraan moet beginnen of in welke richting ik een oplossing moet gaan zoeken. Iemand die me op weg zou kunnen helpen?

Zij $g$ een complexe functie die analytisch is op heel het complexe vlak.
Veronderstel dat $g^{(n)}$ convergeert naar een functie $f$ en die convergentie is uniform op compacta.
Zoek nu de functie $f$ .

Als hint is er gegeven dat je eerst zou moeten proberen in te zien hoe $f'$ en $f$ gerelateerd zijn.

Bericht door **op=op** » 26 mar 2013, 17:25

g is een gehele functie en dus ontwikkelbaar in een machtreeks op geheel $\mathbb{C}$ .

eva_V · Bericht door **eva_V** » 26 mar 2013, 17:36

Dan kan je die machtreeks termsgewijs afleiden om $g^{(n)}$ te bepalen.
En dan?

Bericht door **op=op** » 27 mar 2013, 08:27

Heb je dat al gedaan?
Eerst uitvoeren, dan zie je het wel.

eva_V · Bericht door **eva_V** » 27 mar 2013, 16:08

Ja, dat heb ik gedaan, maar ik zie het toch nog niet..

Als $g(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{a_k(z-P)^k}$ , $\forall z \in \mathbb{C}$
Dan $g^{(n)}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{k!}{(k-n)!}a_k(z-P)^{k-n}}=\sum_{k=n}^{\infty}{\frac{(k+n)!}{k!}a_{k+n}(z-P)^k}$
(ik weet niet welke schrijfwijze meest aangewezen is in deze context?)
En dan zou ik denken dat er een limiet moet berekend worden voor $n \to \infty$ ,
maar ik zie niet hoe je deze limiet kan berekenen?

Anderzijds moet $f$ , als uniforme limiet van een rij analytische functies, ook analytisch zijn op $\mathbb{C}$ en dus moet deze ook kunnen geschreven worden als een machtreeks op heel $\mathbb{C}$ , namelijk als $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{b_k(z-P)^k}$ , waarbij ik zou denken dat dan $b_k=lim_{n\to\infty}{\frac{(k+n)!}{k!}a_{k+n}}$ .

Hoe bereken je nu die limiet?
Of mis ik nog een ander belangrijk iets?

Bericht door **op=op** » 27 mar 2013, 20:01

$g^{(n)}(z)=\sum_{k=n}^{\infty}{\frac{k!}{(k-n)!}a_k(z-P)^{k-n}}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(k+n)!}{k!}a_{k+n}(z-P)^k}$

$b_k=\lim_{n\to\infty}{\frac{(k+n)!}{k!}a_{k+n}}$

ofwel
$k!b_k=\lim_{n\to\infty}n!a_n$

en dus ...

eva_V · Bericht door **eva_V** » 28 mar 2013, 00:25

...Het spijt me, ik zie niet waar dit heen gaat...

Bericht door **op=op** » 28 mar 2013, 08:08

$k!b_k=\lim_{n\to\infty}n!a_n$

dus
$\lim_{n\to\infty}n!a_n = 1!b_1$
$\lim_{n\to\infty}n!a_n = 2!b_2$
$\lim_{n\to\infty}n!a_n = 3!b_3$
.
.
.
$\lim_{n\to\infty}n!a_n = 33!b_{33}$
.
.
.

eva_V · Bericht door **eva_V** » 28 mar 2013, 13:34

Owkeej, ik denk dat ik het eindelijk vat!

Dus we hebben, $\forall z \in \mathbb{C}$ :
$g(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{a_k(z-P)^k}$
en
$g^{(n)}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+n)!}{k!}{a_{k+n}(z-P)^k}$
convergeert uniform op compacta naar
$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{b_k(z-P)^k}$
als
$b_k=lim_{n\to\infty}{\frac{(k+n)!}{k!}a_{k+n}}$
of nog als
$k!b_k=lim_{n\to\infty}{n!a_n}$ , $\forall k\in\mathbb{N}$
dus geldt
$\forall k_1,k_2\in\mathbb{N} : k_1!b_{k_1}=k_2!b_{k_2}$
in het bijzonder geldt dan
$\forall k\in\mathbb{N} : k!b_k=0!b_0=b_0 \Rightarrow b_k=\frac{1}{k!}b_0$
met
$b_0=lim_{\to\infty}{n!a_n}$
en dus is
$f(z)=(lim_{n\to\infty}{n!a_n}) \cdot \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}(z-P)^k}$

Het lijkt me dat dit niet verder kan uitgewerkt of vereenvoudigd worden. Of toch?

eva_V · Bericht door **eva_V** » 28 mar 2013, 14:06

Een voorbeeldje:

Zij $g(z)=e^z=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}z^k}$ , analytisch op heel $\mathbb{C}$ .
Omdat $lim_{n\to\infty}{n!a_n}=lim_{n\to\infty}{n!\frac{1}{n!}}=1$ ,
convergeert deze functie uniform op compacta naar de functie $f(z)=1 \cdot \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}z^k}=e^z$ .
Dit ligt nogal voor de hand.

Geldt dit nu ook omgekeerd? Kunnen we een analytische functie $g$ vinden zodat de rij van afgeleide functies convergeert naar een gegeven gehele functie $f$ ?
Zij $f(z)=e^z=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}z^k}$
Bestaat er dan een andere gehele functie $g(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{a_k z^k}$ (niet $g(z)=e^z$ ) zodat $g^{(n)}$ uniform op compacta convergeert naar $f(z)=e^z$ ?
Stel bijvoorbeeld $a_k=\frac{1}{k!}\Big(1+\frac{1}{k}\Big)$ .
Dan is $lim_{n\to\infty}{n!a_n}=1$ en $g(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{a_k z^k}$ is een gehele functie, met $g^{(n)}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}\Big(1+\frac{1}{k+n}\Big) z^k}$ .
Dan geldt $lim_{n\to\infty}{\frac{1}{k!}\Big(1+\frac{1}{k+n}\Big)}=\frac{1}{k!}=b_k$ .
En dus convergeert $g^{(n)}$ naar $f(z)=e^z$ , zoals gewenst!

Bericht door **op=op** » 28 mar 2013, 16:24

Wiskundeforum

analytische functies op het volledige complexe vlak

analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak

Re: analytische functies op het volledige complexe vlak