Golfvergelijking in R^3

Brent · Bericht door **Brent** » 09 apr 2013, 16:15

Hallo allemaal,

Het is de bedoeling dat ik de golfvergelijking (met $c = 1$ ) in $\mathbb{R}^3$ ga afleiden door gebruik te maken van $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

De golfvergelijking:
$u_{tt} = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}$
die voldoet aan: $u(x,y,z,0) = \frac{1}{1 + x^2 + y^2 + z^2}$

Schrijf $u(x,y,z,t) = U(r,t)$ met $U(-r,t) = U(r,t)$ en leid af dat:
$U_{tt} = U_{rr} + \frac{2}{r}U_r$ met $U(r,0) = \frac{1}{1 + r^2}$ .

----

Ik heb er moeite mee om iets te herschrijven in variabelen. Hoe kom ik dus van $u_{tt} = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}$ naar $U_{tt} = U_{rr} + \frac{2}{r}U_r$ ? Het bepalen van de beginvoorwaarde $U(r,0)$ uit $u(x,y,z,0)$ is vrij simpel, want dat is enkel substitutie.

Alvast bedankt voor eventuele hulp!
- Brent.

Bericht door **wnvl** » 09 apr 2013, 20:27

Dat is een klassieker in de natuurkunde. Dit zal je waarschijnlijk wel inspireren...

http://skisickness.com/2009/11/20/

Brent · Bericht door **Brent** » 10 apr 2013, 08:59

Bedankt voor je reactie. Dat bestand kan inderdaad handig zijn, maar ik raak een beetje in de war door het gebruik van $\theta$ en $\phi$ . In het bestand eindigen ze ook met een differentiaalvergelijking in r, $\theta$ en $\phi$ . In deze opdracht wordt daar niet over gesproken, toch?

Bericht door **wnvl** » 10 apr 2013, 21:35

Brent schreef:Bedankt voor je reactie. Dat bestand kan inderdaad handig zijn, maar ik raak een beetje in de war door het gebruik van $\theta$ en $\phi$ . In het bestand eindigen ze ook met een differentiaalvergelijking in r, $\theta$ en $\phi$ . In deze opdracht wordt daar niet over gesproken, toch?

In jou opgave kan je de afgeleiden naar $\theta$ en $\phi$ nul stellen omwille van de veronderstelde symmetrie. Hopelijk kan je nu verder.

Brent · Bericht door **Brent** » 10 apr 2013, 22:46

Ah, dan zie ik hem ja. Bedankt.

$\nabla^2 = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{d}{dr}$

Dus dan $U_{tt} = \nabla^2 U(r,t)$ ?

Bericht door **wnvl** » 10 apr 2013, 23:27

inderdaad

Wiskundeforum

Golfvergelijking in R^3

Golfvergelijking in R^3

Re: Golfvergelijking in R^3

Re: Golfvergelijking in R^3

Re: Golfvergelijking in R^3

Re: Golfvergelijking in R^3

Re: Golfvergelijking in R^3