Oplossingen warmtevergelijking

Brent · Bericht door **Brent** » 09 apr 2013, 17:02

Hallo allemaal,

De warmtevergelijking $u_t = u_{xx}$ heeft voor elke $a \in \mathbb{R}$ oplossingen van de vorm:

$u(x,t) = \frac{1}{t^a}f(y)$ , met $y = \frac{x}{\sqrt{t}}, t > 0$ .

Laat zien dat $f(y)$ voldoet aan:
$f''(y) + \frac{1}{2}yf'(y) + af(y) = 0$ .

---

Volgens mij is dit simpel aan te tonen, maar ik weet niet goed hoe. Ik dacht eraan dat $f(y) = u(x,t)t^a$ , maar dat lijkt me niet de bedoeling.

Alvast bedankt!
- Brent.

Bericht door **wnvl** » 09 apr 2013, 19:51

$u(x,t) = \frac{1}{t^a}f(\frac{x}{\sqrt{t}})$

Bereken:

$u_t =...$
$u_{xx}=...$

Brent · Bericht door **Brent** » 09 apr 2013, 21:26

Stom dat ik dat niet zag.

$u(x,t) = \frac{1}{t^a}f(\frac{x}{\sqrt{t}})$

$u_t = \frac{1}{t^a}\left(-\frac{x}{2t\sqrt{t}}f'\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) - \frac{a}{t}f\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)\right) = \frac{1}{t^{a+1}}\left(-\frac{1}{2}yf'(y) - af(y)\right)$

$u_x = \frac{1}{t^a\sqrt{t}}f'(y)$
$u_{xx} = \frac{1}{t^{a+1}}f''(y)$

Er geldt:
$u_t = u_{xx} \Rightarrow u_{xx} - u_t = 0$

Dus:
$\frac{1}{t^{a+1}}f''(y) - \frac{1}{t^{a+1}}\left(-\frac{1}{2}yf'(y) - af(y)\right) = 0$

$\frac{1}{t^{a+1}}\left(f''(y) + \frac{1}{2}yf'(y) + af(y)\right) = 0$

$\frac{1}{t^{a+1}} \neq 0$ , dus: $f''(y) + \frac{1}{2}yf'(y) + af(y) = 0$

En dit moest aangetoond worden.

-----

Bepaal de oplossing van $u_t = u_{xx}$ die voldoet aan $u(0,t) = 0$ voor $t > 0$ en $u(x,0) = 1$ voor $x > 0$ . Hint: Stel $a = 0$ .

Als $a = 0$ , dan $u(x,t) = f(y)$ . Dus dat zou betekenen dat als ik $f''(y) + \frac{1}{2}yf'(y) + af(y) = 0$ kan oplossen voor $f(y)$ , ik ook $u(x,t)$ gevonden heb, toch? Dan de beginvoorwaarden invullen en dat moet de oplossing geven.

Als dit het geval is: hoe los ik $f''(y) + \frac{1}{2}yf'(y) = 0$ op?

Wiskundeforum

Oplossingen warmtevergelijking

Oplossingen warmtevergelijking

Re: Oplossingen warmtevergelijking

Re: Oplossingen warmtevergelijking