Partiële differentiaalvergelijking: scheiding van variabelen

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Partiële differentiaalvergelijking: scheiding van variabelen

Bericht door Brent » 10 apr 2013, 09:38

Hallo allemaal,

Zij en . Beschouw voor de vergelijking:
, voor .

Met de randvoorwaarden

heeft de differentiaalvergelijkingen oplossingen van de vorm .


Leid een randwaardeprobleem af voor waarin een paramater voorkomt en laat zien dat er een rij is waarvoor dit randwaardeprobleem een niet-triviale oplossing heeft én laat voor zien dat:



-----


Het leek mij de bedoeling de differentiaalvergelijking te herschrijven door de scheiding van variabelen:

.

Alles delen door :



De linkerkant is niet afhankelijk van en de rechterkant niet van , dus dat betekent dat beide kanten constant zijn. Dat levert op:

, dus
Ik dacht dat , maar dan:
.


Dus dan en dat was niet de bedoeling.

Hoe vind ik en die rij ?


Alvast bedankt!
- Brent.
Laatst gewijzigd door Brent op 11 apr 2013, 12:28, 1 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Partiële differentiaalvergelijking: scheiding van variab

Bericht door wnvl » 10 apr 2013, 22:06

Misschien dit eens proberen...


Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Partiële differentiaalvergelijking: scheiding van variab

Bericht door Brent » 10 apr 2013, 22:40

wnvl schreef:Misschien dit eens proberen...

Dank je!





En

Dan de randvoorwaarden: , dus .











En dan?

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Partiële differentiaalvergelijking: scheiding van variab

Bericht door wnvl » 10 apr 2013, 23:26



Hieruit T(t) berekenen...

Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Partiële differentiaalvergelijking: scheiding van variab

Bericht door Brent » 11 apr 2013, 12:28

Moet ik niet eerst aantonen dat er een rij 's is en die integraal afleiden?
wnvl schreef:

Hieruit T(t) berekenen...


Ik heb even Wolfram Alpha geraadpleegd en die geeft als oplossing . Ik zie niet in hoe ze hier (simpel) op gekomen zijn.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Partiële differentiaalvergelijking: scheiding van variab

Bericht door wnvl » 11 apr 2013, 14:35

Komt gewoon neer op het oplossen van een kwadratische vgl. met een discriminant.


Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Partiële differentiaalvergelijking: scheiding van variab

Bericht door Brent » 12 jul 2013, 09:41

wnvl schreef:Komt gewoon neer op het oplossen van een kwadratische vgl. met een discriminant.

Natuurlijk, dat had ik even over het hoofd gezien.


Ik snap niet waarom in de oplossing het gedeelte onder de wortel opeens min is en niet plus zoals ik hierboven uitgewerkt heb:

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Partiële differentiaalvergelijking: scheiding van variab

Bericht door SafeX » 13 jul 2013, 09:28

Schrijf de exponenten in de vorm (...)t , wat zie je?

Plaats reactie