stelling van Rouché

[eva_V]

Kies f(z)= z^10+10z en g(z)=9 ...

Is het daarbij ook weer niet zo dat je geen strikte ongelijkheid kan aantonen? Voor geldt bijvoorbeeld opnieuw gelijkheid...

[wnvl]

voor z=1 geldt dan f(1)>g(1)
voor z=0 geldt dan f(0)<g(0)

Ik zie niet wat je met deze opsplitsing kan doen.

[eva_V]

voor z=1 geldt dan f(1)>g(1)
voor z=0 geldt dan f(0)<g(0)

z=0 ligt niet op de rand van de schijf (op de eenheidscirkel dus), dus dat moet je al zeker niet bekijken denk ik..

[wnvl]

Ja, mijn reactie was fout.

[SafeX]

Kies f(z)= z^10+10z en g(z)=9 ...

Is het daarbij ook weer niet zo dat je geen strikte ongelijkheid kan aantonen? Voor geldt bijvoorbeeld opnieuw gelijkheid...

Je kan z=-1 op de gebruikelijke manier uitzonderen.

[eva_V]

Je kan z=-1 op de gebruikelijke manier uitzonderen.

Bedoel je zoals enkele posts hoger :
?
Maar hoe pas je dan Rouché toe op die tweede factor?

Of bedoel je iets helemaal anders? En wat dan?

[SafeX]

Je contour aanpassen door z=-1 uit te zonderen, het gevolg is dat z=-1 het enige nulpunt (dubbel) is.

[eva_V]

Huh? De contour aanpassen? Mag dat zomaar? En hoe doe je dat dan?
Bovendien. Hoe weet je dan dat z=-1 het enige (dubbele) nulpunt is? Is dat omdat je sowieso al weet dat z=-1 een dubbel nulpunt is en dat je (met Rouché?) kan vinden dat er binnen die nieuwe contour 2 nulpunten liggen?

[SafeX]

Je hebt zelf z=-1 als nulpunt gevonden. Er mag geen nulpunt op de contour liggen (ook zelf geconstateerd). Door aanpassing van de contour kan je wel Rouché toepassen. Je vindt geen nulpunten binnen die contour. Dus ...

[eva_V]

Oké ja, ik snap de redenering. Het is een mooie werkwijze!
Nu vraag ik me alleen af hoe je contour moet vervormen. In ieder geval moet ze kleiner worden denk ik. Maar hoeveel kleiner mag ze worden? Kies je dan de eenheidscirkel met een inkepingetje ter hoogte van -1? Of kies je een cirkel met een kleinere straal?

[SafeX]

De gebruikelijke: een cirkeltje met straal epsilon met epsilon naar 0.

[eva_V]

Aja, eigenlijk is elke cirkel met straal epsilon kleiner dan 1 goed, niet? Als je kan aantonen dat binnen die cirkel geen nulpunt ligt (met Rouché), dan is het oké.
Ja, nu lukt het me wel denk ik!

Hartelijk dank!!

[SafeX]

Ok, succes.

[eva_V]

Nu is er toch nog 1 iets wat ik me afvraag: Waarom mag je de limiet nemen voor epsilon naar 0? Is het niet de bedoeling dat je zo dicht mogelijk bij de originele cirkel blijft, de eenheidscirkel dus? Als je de limiet neemt voor epsilon naar 0, ga je er dan niet a priori van uit dat er zich geen nulpunten bevinden binnen de eenheidscirkel?

[SafeX]

Je toont aan dat er geen nulptn zijn binnen de cirkel. En epsilon naar 0 laten gaan is strikt genomen niet noodzakelijk, maar sluit beter aan met de vraag.