limiet van een complexe functie

eva_V · Bericht door **eva_V** » 23 mei 2013, 16:41

Ik zou de limiet voor $z \to 0$ willen berekenen van de functie $f(z)=ze^{\frac{1}{z}}e^{\frac{-1}{z^2}}$ . Ik vermoed echter dat deze limiet niet bestaat (dus 0 is een essentiële singulariteit van f). Maar het lukt me niet dit aan te tonen. Ik wou proberen enerzijds de limiet voor $z=x$ met $x \in \mathbb{R} \to 0$ en anderzijds de limiet voor $z=iy$ met $y \to 0$ te berekenen en dan zo te zien dat die limieten niet gelijk zijn en dat dus de limiet van $f$ voor $z \to 0$ niet bestaat. Nu is mijn probleem dat ik die twee limieten niet berekend krijg..

Wat ik doe is het volgende:
Enerzijds
$lim_{x\to 0} xe^{1/x}e^{-1/x^2}$ weet ik niet hoe te berekenen. De eerste en de derde factor gaan naar 0 in de limiet voor $x \to 0$ , maar of de tweede factor ( $e^{1/x}$ ) naar 0 gaat of naar $\infty$ hangt ervan af of x groter is dan 0 of kleiner...

Anderzijds
$lim_{y\to 0} iye^{1/(iy)}e^{-1/(iy)^2} = lim_{y\to 0} iye^{i(-1/y)}e^{1/y^2}$ waarbij de factor $e^{i(-1/y)}$ begrensd blijft (modulus = 1). De factor $y$ gaat naar 0 en de factor $e^{1/y^2}$ gaat naar $\infty$ . Vermoedelijk moet ik nu de regel van de l'Hopital toepassen, maar als ik dat probeer te doen, bekom ik alleen maar steeds grotere machten van y, ik maak het probleem dus alleen maar moeilijker...

Kan iemand me helpen?

Bericht door **SafeX** » 23 mei 2013, 16:48

Je bent er toch, van drie richtingen gaat de limiet naar oneindig alleen voor x<0 is de limiet 0.
Dus ...

Wiskundeforum

limiet van een complexe functie

limiet van een complexe functie

Re: limiet van een complexe functie