Dubbele integraal berekenen

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
mathematicss
Vast lid
Vast lid
Berichten: 31
Lid geworden op: 25 mei 2013, 17:08

Dubbele integraal berekenen

Bericht door mathematicss » 14 jun 2013, 21:30

Beste,

heeft iemand misschien een stappenplan hoe je het best een dubbele integraal kunt berekenen of hier uitleg over? Ik heb al gezocht op internet, maar ik kan niet echt iets geschikt vinden.
Ik ben hier net mee begonnen, maar het gaat me niet goed af. Ik snap niet goed wat ik precies moet doen.

Zo heb ik de vraag: Bereken de dubbele integraal f(x,y) = y² + 5x over de rechthoek bepaald door de punten (1,1), (1,5), (3,1) en (3,5) in het XY-vlak

Hier heb ik deze van gemaakt:


nu weet ik niet of het mag, maar ik dacht dat je deze mocht opslitsen:

+

en dan weet ik dus niet of dit klopt? Of moet je bij beide delen er dydx achter zetten?
want hierna integreer ik beide delen, maar dit komt niet met het antwoord overeen..
(het antwoord is: 488/3)

Hopelijk kan iemand me helpen, in ieder geval al vast heel veel bedankt!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door arie » 15 jun 2013, 06:01

Stappenplan:
[1] stel de integraal op voor 1 van de variabelen (je hebt vrije keuze uit 1 van de 2)
[2] omvat dit in de integraal voor de andere variabele.
[3] bereken de binnenste integraal naar de gekozen variabele, waarbij je de andere variabele als constante beschouwt
[4] bereken de integraal die dan ontstaat


Voorbeeld:
Bereken de integraal van g(x,y)=2x+4y voor 2<x<6 en 4<y<8

[1] kies bijvoorbeeld y als eerste:



[2] integreer dit geheel vervolgens over x:



Dit is je dubbele integraal. Let daarbij ook goed op de integratiegrenzen: van de binnenste integraal de grenzen van y: 4 tot 8, en van de buitenste integraal die van x: 2 tot 6)


[3] bereken de binnenste integraal naar y (met hierin x als een constante):



Dus:



[4] en deze laatste integraal zal geen problemen meer geven:





Lukt het nu ook met jouw opgave?


PS: kwadraten in tex geef je aan met ^2
speciale karakters, zoals ² worden in tex niet zichtbaar.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door SafeX » 15 jun 2013, 15:21

mathematicss schreef: +
Dit mag beslist niet, je zou moeten weten dat dxdy afkomstig is van het product:



En zoals je (misschien) weet heb je dan te maken met een opp.
Jij maakt er echter lengtes van die je optelt.

Maakt dit het voor jou iets duidelijker?

Probeer de integraal eenvoudiger te maken door bv:



te bepalen over dezelfde rechthoek. Doe dat door eerst naar x dan naar y en andersom.

mathematicss
Vast lid
Vast lid
Berichten: 31
Lid geworden op: 25 mei 2013, 17:08

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door mathematicss » 15 jun 2013, 20:40

Bedankt, jullie zijn geweldig! ik snap het nu, heb het principe door!
Alleen hoe zit het wanneer de functievorm geen + bevat, maar een *teken?
Bv:


ik had als eerste:
maar dan zit ik met het probleem wat ik met de wortel x moet doen, ik dacht zelf aan partiele integratie, heb dit een paar x toegepast maar komt niet uit.
Alvast bedankt!!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door arie » 15 jun 2013, 21:17

Zoek het niet te ver.
Je hebt



Beschouw wortel(x) als constante, en los de integraal naar y net zo op als je bijvoorbeeld



zou oplossen.
Waar kom je dan voor



op uit ?

mathematicss
Vast lid
Vast lid
Berichten: 31
Lid geworden op: 25 mei 2013, 17:08

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door mathematicss » 15 jun 2013, 22:10

Dus als ik het goed begrijp kom je op:



uit? en deze dan voor y=2 en y=-1 van elkaar aftrekken

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door arie » 15 jun 2013, 22:34

Klopt:



En dan moet je nu nog de integraal van 0 tot 4 naar x hiervan nemen.

Waar kom je dan op uit ?

mathematicss
Vast lid
Vast lid
Berichten: 31
Lid geworden op: 25 mei 2013, 17:08

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door mathematicss » 15 jun 2013, 23:05

Oke, dankuwel! Dan kom ik op 16 uit.

Werkt dit principe dan hetzelfde als wanneer je bijvoorbeeld de integraal van
neemt en je integreert naar y, zie je deze x dan dus ook als een constante? Waardoor ik uit zou komen op:

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door arie » 16 jun 2013, 07:19

mathematicss schreef:Oke, dankuwel! Dan kom ik op 16 uit.
OK

mathematicss schreef:Werkt dit principe dan hetzelfde als wanneer je bijvoorbeeld de integraal van
neemt en je integreert naar y, zie je deze x dan dus ook als een constante? Waardoor ik uit zou komen op:
Het principe blijft geldig.
Alleen klopt je primitieve nog niet : er staat ook nog een y in de exponent, daar moeten we wel wat mee doen.
Vergelijk dit bijvoorbeeld met



Wat komt hier uit ?

mathematicss
Vast lid
Vast lid
Berichten: 31
Lid geworden op: 25 mei 2013, 17:08

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door mathematicss » 16 jun 2013, 10:45

Dus als ik het goed begrijp dan komt uit deze integraal
+C ?

mathematicss
Vast lid
Vast lid
Berichten: 31
Lid geworden op: 25 mei 2013, 17:08

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door mathematicss » 16 jun 2013, 10:51

Klopt het dat dit dan toegepast op mijn vb geeft:



Wanneer je integreert over y?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door arie » 16 jun 2013, 11:08

Als je eerste antwoord goed zou zijn, dan was je tweede ook goed : het gaat om hetzelfde principe.

Maar : we hebben hier te maken met het product van twee functies van y, namelijk en , daarvan mag je beide factoren niet afzonderlijk integreren.
Gebruik nu wel partiële integratie.
Lukt het dan ?

mathematicss
Vast lid
Vast lid
Berichten: 31
Lid geworden op: 25 mei 2013, 17:08

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door mathematicss » 16 jun 2013, 13:29

arie schreef:\

Wat komt hier uit ?
Dus voor deze integraal zou je, als k het snap, hem als volgt moeten oplossen:
f(x) = y
f'(x) =1
g'(x) = e^8y
g(x) = (1/8)e^8y

--> f(x)g(x) -

=

=

= y/8 e^8y - (1/64)e^8y


of ben ik nu weer mis?
Nu ga ik is kijken of ik hem ook voor die ye^xy kan oplossen
iig al heel veel bedankt voor uw geduld!!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door arie » 16 jun 2013, 20:31

Klopt (alleen een kleine typo achter de eerste integraal: g'(x)f(x) moet zijn g(x)f '(x), in je verdere uitwerking werk je overigens wel correct verder met g(x)f '(x) ).

Eventueel zou je het eindantwoord nog kunnen ontbinden in factoren:



maar ik weet niet of jullie dit ook standaard moeten doen.

Lukt het nu ook als je die 8 door x vervangt ?

mathematicss
Vast lid
Vast lid
Berichten: 31
Lid geworden op: 25 mei 2013, 17:08

Re: Dubbele integraal berekenen

Bericht door mathematicss » 16 jun 2013, 20:53

Dankuwel!

Is het mogelijk om hier een foto te plaatsen?
Dan kan ik een foto plaatsen van mijn uitwerking want er blijft telkens een foutje inzitten
Via bijlage toevoegen lukt het me niet, omdat hij img niet ondersteunt zegt hij

Plaats reactie