Beschouw de operator
Vind het beeld van T, het spectrum en de corresponderende eigenruimte.
Iemand enig idee hoe ik de eigenfuncties vind? Ik dacht aan een Laplace transfo door de convolutie...
Maar de convolutie loopt maar tussen 0 en 1
eigenfuncties
eigenfuncties
Beschouw de operator
Vind het beeld van T, het spectrum en de corresponderende eigenruimte.
Iemand enig idee hoe ik de eigenfuncties vind? Ik dacht aan een Laplace transfo door de convolutie...
Maar de convolutie loopt maar tussen 0 en 1
Re: eigenfuncties
f(x) als eindige Fourier reeks.
Re: eigenfuncties
Ik had eigenlijk nog niet gedacht aan de link met Fourier reeksen, maar er wordt geïntegreerd tussen 0 en 1, dus niet over een volledige periode in tegenstelling tot een Fourier reeks.
Als er nu geïntegreerd werd over een volledige periode, dan zouden de hogere harmonischen eigenwaarde 0 hebben, maar nu?
Als er nu geïntegreerd werd over een volledige periode, dan zouden de hogere harmonischen eigenwaarde 0 hebben, maar nu?
Re: eigenfuncties
Het beeld van T is 
De eigenfuncties zijn van de vorm:
 =A\ \cos x+B\ \sin x\; .)
Er geldt:
 = -\left( \frac{\sin^2 1}{2}\ A + \frac{2-\sin 2}{4}\ B\right) \cos x + \left( \frac{2+\sin 2}{4}\ A + \frac{\sin^2 1}{2}\ B\right) \sin x)
Dus)
als:
 \cos x + \left( \frac{2+\sin 2}{4}\ A + \frac{\sin^2 1}{2}\ B\right) \sin x = \lambda\ (A\ \cos x+B\ \sin x)\; ,)
Dit is equivalent met:
dat oneindig veel oplossingen moet hebben voor A en B; dit is alleen mogelijk als de determinant nul is, dus alleen als:
En dan kan je de eigenwaarden en eigenfuncties berekenen.
De eigenfuncties zijn van de vorm:
Er geldt:
Dus
Dit is equivalent met:
dat oneindig veel oplossingen moet hebben voor A en B; dit is alleen mogelijk als de determinant nul is, dus alleen als:
En dan kan je de eigenwaarden en eigenfuncties berekenen.