Aantonen nulverzameling

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Aantonen nulverzameling

Bericht door Brent » 03 sep 2013, 18:23

Laat bestaan uit alle punten zonder het getal 3 in hun decimale expansie. Toon aan dat nul is. Is aftelbaar of overaftelbaar?

-----

Het lijkt me de bedoeling om eerst de decimale expansie te gebruiken.

is te schrijven als:
met .

als en alleen als voor alle .


Ik dacht er aan om iets te doen met de Cantorverzameling, maar ik weet niet hoe.
Het is dus de bedoeling dat ik intervallen vind die X overdekken en een lengte hebben die ik willekeurig klein kan maken, zodat ze altijd kleiner zijn dan een bepaalde .


Iemand die me verder kan helpen?


Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door op=op » 04 sep 2013, 16:45

Doe het zelfde als bij de Cantorverzameling. Teken segment [0,1]. Snijdt daar uit een deel enz.

Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door Brent » 04 sep 2013, 18:14

op=op schreef:Doe het zelfde als bij de Cantorverzameling. Teken segment [0,1]. Snijdt daar uit een deel enz.
Maar welk deel moet ik eruit snijden? Ik dacht eraan het op te delen in 10 gelijke intervallen en dan het vierde interval eruit te verwijderen. Dan zou het zijn als volgt:

Is dit de bedoeling? Het punt is dat je hierbij niet een standaardvergelijking voor voor een willekeurige hebt, omdat je intervallen hebt van verschillende lengtes.

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door op=op » 04 sep 2013, 18:52

Dat is correct.
Nu is met

waarbij het resultaat is na n stappen.

Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door Brent » 05 sep 2013, 14:38

Oké, bedankt.




...


bestaat uit intervallen.




...


Laat wederom .

Voor elke gegeven kan zo groot gekozen worden zodat . Per definitie en bestaat uit een eindige hoeveelheid van intervallen met totale lengte kleiner dan , dus is een nulverzameling.


Op deze manier?

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door op=op » 05 sep 2013, 17:23

Brent schreef: Laat wederom .
Is dat zo?

Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door Brent » 06 sep 2013, 15:13

op=op schreef:
Brent schreef: Laat wederom .
Is dat zo?
Ik bedoel natuurlijk de doorsnede. Iets te snel getypt.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door David » 07 sep 2013, 23:48

Hoe zit het met 8/9, 79/99, Liouville's constante,...? Lengten van intervallen met getallen X zijn nul.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Brent
Vast lid
Vast lid
Berichten: 86
Lid geworden op: 29 jan 2013, 20:35

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door Brent » 09 sep 2013, 11:52

David schreef:Hoe zit het met 8/9, 79/99, Liouville's constante,...? Lengten van intervallen met getallen X zijn nul.
Wat bedoel je?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door David » 09 sep 2013, 15:48

Brent schreef:Laat bestaan uit alle punten zonder het getal 3 in hun decimale expansie. Toon aan dat nul is.
Wat wordt bedoeld met "dat nul is? Volgens mij is een verzameling. Als een verzameling nul is, heeft die geen elementen. Maar heeft wel elementen.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Aantonen nulverzameling

Bericht door op=op » 09 sep 2013, 17:11

Een verzameling U is nul als er een oneindige rij verzamelingen bestaat
die in oppervlakte/lengte/inhoud naar 0 gaan. U hoeft niet leeg te zijn.

Plaats reactie