Wiskundeforum

Laat $X \subset [0,1]$ bestaan uit alle punten zonder het getal 3 in hun decimale expansie. Toon aan dat $X$ nul is. Is $X$ aftelbaar of overaftelbaar?

-----

Het lijkt me de bedoeling om eerst de decimale expansie te gebruiken.

$m \in [0,1]$ is te schrijven als:
$m = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} = 0,a_1a_2...$ met $a_k = 0,1, ..., 9$ .

$m \in X$ als en alleen als $a_k \neq 3$ voor alle $k$ .

Ik dacht er aan om iets te doen met de Cantorverzameling, maar ik weet niet hoe.
Het is dus de bedoeling dat ik intervallen vind die X overdekken en een lengte hebben die ik willekeurig klein kan maken, zodat ze altijd kleiner zijn dan een bepaalde $\varepsilon > 0$ .

Iemand die me verder kan helpen?

Alvast bedankt!

Doe het zelfde als bij de Cantorverzameling. Teken segment [0,1]. Snijdt daar uit een deel enz.

op=op schreef:Doe het zelfde als bij de Cantorverzameling. Teken segment [0,1]. Snijdt daar uit een deel enz.

Maar welk deel moet ik eruit snijden? Ik dacht eraan het op te delen in 10 gelijke intervallen en dan het vierde interval eruit te verwijderen. Dan zou het zijn als volgt:
$C_1 = [0,\frac{3}{10}] \cup [\frac{4}{10}, 1]$
Is dit de bedoeling? Het punt is dat je hierbij niet een standaardvergelijking voor $C_n$ voor een willekeurige $n$ hebt, omdat je intervallen hebt van verschillende lengtes.

Dat is correct.
Nu is met $C_0 = [0,1]$
$C_n = \frac{3}{10}C_{n-1} + (\frac{4}{10}+\frac{6}{10}C_{n-1})$
waarbij $C_n$ het resultaat is na n stappen.

Oké, bedankt.

$C_0 = [0,1]$
$C_1 = \frac{3}{10}[0,1] \cup (\frac{4}{10} + \frac{6}{10}[0,1]) = [0,\frac{3}{10}] \cup [\frac{4}{10}, 1]$
$C_2 = [0,\frac{9}{100}] \cup [\frac{12}{100}, \frac{30}{100}] \cup [\frac{40}{100}, \frac{58}{100}] \cup [\frac{64}{100}, 1]$
...
$C_n = \frac{3}{10}C_{n-1} \cup (\frac{4}{10} + \frac{6}{10}C_{n-1})$

$C_n$ bestaat uit $2^n$ intervallen.

$l(C_0) = 1$
$l(C_1) = \frac{9}{10}$
$l(C_2) = \frac{81}{100}$
...
$l(C_n) = \left(\frac{9}{10}\right)^n$

Laat wederom $C = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n$ .

Voor elke gegeven $\varepsilon > 0$ kan $n$ zo groot gekozen worden zodat $\left(\frac{9}{10}\right)^n < \varepsilon$ . Per definitie $C \subseteq C_n$ en $C_n$ bestaat uit een eindige hoeveelheid van intervallen met totale lengte kleiner dan $\varepsilon$ , dus $C$ is een nulverzameling.

Op deze manier?

Brent schreef: Laat wederom $C = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n$ .

Is dat zo?

op=op schreef:
Brent schreef: Laat wederom $C = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n$ .
Is dat zo?

Ik bedoel natuurlijk de doorsnede. Iets te snel getypt.
$C = \bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$

Hoe zit het met 8/9, 79/99, Liouville's constante,...? Lengten van intervallen met getallen X zijn nul.

David schreef:Hoe zit het met 8/9, 79/99, Liouville's constante,...? Lengten van intervallen met getallen X zijn nul.

Wat bedoel je?

Brent schreef:Laat $X \subset [0,1]$ bestaan uit alle punten zonder het getal 3 in hun decimale expansie. Toon aan dat $X$ nul is.

Wat wordt bedoeld met "dat $X$ nul is? Volgens mij is $X$ een verzameling. Als een verzameling nul is, heeft die geen elementen. Maar $X$ heeft wel elementen.

Een verzameling U is nul als er een oneindige rij verzamelingen bestaat
$U_1 \supset U_2 \supset \cdots (\supset U)$ die in oppervlakte/lengte/inhoud naar 0 gaan. U hoeft niet leeg te zijn.

Wiskundeforum

Aantonen nulverzameling

Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling

Re: Aantonen nulverzameling