differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
E=MC^2
Vast lid
Vast lid
Berichten: 42
Lid geworden op: 28 feb 2011, 20:56

differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door E=MC^2 » 15 sep 2013, 10:11

Hallo,

Ten eerste lukt het me niet te copy pasten van de equation editor naar het document dus ik moet het even zonder doen:


Ik probeer de volgende dv op te lossen met de machtreeksmethode:

y' = 1 + y^2



Nu is het zo dat je dan een machtreeks van y en y' krijgt van de vorm y = som van 0 naar inf van Am*(x)^m en y' = som van 1 naar inf van Am*m*(x)^m-1. Ik krijg het alleen niet voor elkaar nu om de som in de kwadratische y term in de dv zodanig in te vullen dat ik er wat nuttigs uit zie komen (Moet ik de haakjes gewoon uitwerken?). Met scheiding van variabelen is de dv prima op te lossen met als antwoord tan(x+c) maar ik kom er met de MRM niet uit. Ik herken ook niet echt een taylor reeks van de tangens in mijn eindantwoord.

Alvast bedankt voor hulp.

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door op=op » 15 sep 2013, 12:41

Dit probleem is niet geschikt om met machtreeksen op te lossen.

E=MC^2
Vast lid
Vast lid
Berichten: 42
Lid geworden op: 28 feb 2011, 20:56

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door E=MC^2 » 15 sep 2013, 14:02

Hmm dat is gek want ik werk voor mijn natuurkundestudie uit het boek van kreyszig advanced engineering mathematics en daarin wordt dit expliciet gevraagd. Heb je toch misschien nog een idee?

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 654
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door barto » 15 sep 2013, 14:30

Deel door 1+y^2, en integreer vervolgens. (Komt de 1+y^2 je niet bekend voor?)
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

E=MC^2
Vast lid
Vast lid
Berichten: 42
Lid geworden op: 28 feb 2011, 20:56

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door E=MC^2 » 15 sep 2013, 14:35

Zie mijn eerste post barto. Nogmaals met scheiding van variabelen is deze dv prima met substitutie op te lossen maar het betreft nu de vraag een oplossing te vinden met de machtreeksmethode. Iemand tips?

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door op=op » 15 sep 2013, 15:11

Dat gaat niet.
Neem de oplossing .
De functie bestaat niet eens in 0.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door wnvl » 15 sep 2013, 23:14

Hier een stukje uit het boek en ze staat er inderdaad tussen. Oefening 12.

Afbeelding

Het is wel een feit dat de oefening zich niet echt leent tot een oplossing met machtreeksen, maar toch...







dus






...

Er zal wel uitgezocht moeten worden wat het convergentiegebied is...
Laatst gewijzigd door wnvl op 15 sep 2013, 23:47, 1 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door wnvl » 15 sep 2013, 23:46

Matematica levert deze oplossing op

initconds = {y[0] == 0};
odeOperator = D[#, x] -1 - #^2 &;
yy = Series[y[x], {x, 0, 15}];
soln = SolveAlways[Join[{odeOperator[yy] == 0}, initconds], x];
truncatedSol = Normal[yy /. soln]


Afbeelding
Laatst gewijzigd door wnvl op 16 sep 2013, 00:29, 1 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door wnvl » 16 sep 2013, 00:15

In het blauw de oplossing met de machtreeksen. In het rood een andere numerieke methode.

ode = y'[x] - y[x]^2 - 1 == 0;
approxSol = NDSolve[Join[{ode}, initconds], y[x], {x, 0, 1}];
Plot[{y[x] /. approxSol[[1]]}, {x, 0, 1}]

Zou de convergentie ophouden bij ???

Afbeelding

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door op=op » 16 sep 2013, 07:35

In het boek staat een héél ander probleem. Hier is gegeven dat y(0)=0.
In dat geval is het mogelijk; in het algemene geval volstrekt onmogelijk.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: differentiaalvgl oplossen met machtreeksmethode

Bericht door wnvl » 16 sep 2013, 14:33

wnvl schreef:In het blauw de oplossing met de machtreeksen. In het rood een andere numerieke methode.

ode = y'[x] - y[x]^2 - 1 == 0;
approxSol = NDSolve[Join[{ode}, initconds], y[x], {x, 0, 1}];
Plot[{y[x] /. approxSol[[1]]}, {x, 0, 1}]

Zou de convergentie ophouden bij ???

Afbeelding
Het is natuurlijk andersom, blauw is een tangens is de echte oplossing.

Plaats reactie