Limieten en continuïteit

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Limieten en continuïteit

Bericht door Kelvin24 » 06 okt 2013, 16:33

Beste allemaal,

Ik ben een beetje in de war geraakt door het concept continuïteit.

Toen ik begon met het leren van het concept limieten dacht ik het volgende erover:

Limieten houdt in dat als x steeds dichterbij a komt dat y dan L is.

Limieten worden gebruikt om erachter te kunnen komen wat y is als x heel dichtbij a komt. Ik dacht dat limieten werden gebruikt bij functies waar sommige inputs niet toegestaan zijn. Het antwoord is namelijk niet te vinden. Ik dacht dan aan functies zoals: breuken, logaritme en wortels. Je hebt dan in je grafiek op dat input een gat.

En nu heb ik gelezen over continuïteit. Continuïteit houdt is dat een grafiek niet onderbroken wordt. In de uitleg wordt gezegd dat bij limieten er sprake kan zijn van continuïteit als discontinuïteit. Ik ben door dit in de war geraakt. Mijn idee bij limieten is juist dat y soms niet te vinden is bij een x, maar door heel dichtbij te komen dat je dan weet wat y kan zijn.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door SafeX » 06 okt 2013, 16:48

Een paar feiten:
1. functie met een 'gat' voor x=a is niet continu in dat punt x=a.
2. een continue functie heeft geen 'gaten'

Wat is nu je vraag?

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door Kelvin24 » 06 okt 2013, 16:58

Ik dacht namelijk eerst dat limieten geen continuiteit grafieken heeft. Ik dacht namelijk dat limieten werden gebruikt bij functies als breuken of logaritme. Te kunnen verklaren wat y kan zijn, als x heel dichtbij a komt, maar a niet mag zijn. Je mag bijvoorbeeld x=a niet als input gebruiken, omdat het antwoord dan niet te vinden is. Wil je toch weten wat y kan zijn dan stop je een input heel dichtbij a.

Vervolgens lees ik, dat limieten ook continu kan zijn en niet altijd discontinu. Ik snap daardoor het concept van limieten niet meer.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door SafeX » 06 okt 2013, 17:07

Kelvin24 schreef:Vervolgens lees ik, dat limieten ook continu kan zijn en niet altijd discontinu. Ik snap daardoor het concept van limieten niet meer.
Laat mij dat ook eens lezen ... ?!?


Formeel kan je natuurlijk altijd een limiet schrijven en berekenen, bv



maar is dit zinvol?

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door Kelvin24 » 06 okt 2013, 17:25

Safex,

Wil je zeggen dat limieten eigenlijk bij alle functies kan worden gebruikt? Of het zinvol is om het op te schrijven is kan ik niet beantwoorden. Ik denk alleen dat het niet zinvol is, omdat x wel 1 kan zijn en er wel een antwoord uit komt. Bij andere functies waar x niet a kan zijn dat het dan wel zinvol is, omdat je dan weet wat y mogelijk kan zijn.

De stuk tekst.

One sided continuity:
the introduction of one sided limits allows us to define one sided continuity. Suppose f is defined on the half open interval (c,a).

note: a wel meegerekend. Ik kon de haak teken daarvan niet vinden op mijn keyboard.

If f(x) tends to f(a) as x tends to a negative, we say that f is left continuous at a. Similary, if f is defined on [a,d), we say that f is right continuous at a if f(x) tends to f(a) to a positive.

If a function f is dfined on a closed bounded interval [a,b) note: b ook meegerekend.
We usually say that f is continous in [a,b) note: b ook meegerekend.
And is in addition right continuous at a and left continous at b. It should be obvious how to define continuity on half open intervals. The conituity of a unction at all points of an interval (including one sided continuity at the end points) is often a minimum requiremet we impose when speaking about "well behaved" functions.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door SafeX » 06 okt 2013, 17:50

Kelvin24 schreef: De stuk tekst.

One sided continuity:
the introduction of one sided limits allows us to define one sided continuity. Suppose f is defined on the half open interval (c,a).

note: a wel meegerekend. Ik kon de haak teken daarvan niet vinden op mijn keyboard.

If f(x) tends to f(a) as x tends to a negative, we say that f is left continuous at a. Similary, if f is defined on [a,d), we say that f is right continuous at a if f(x) tends to f(a) to a positive.

If a function f is dfined on a closed bounded interval [a,b) note: b ook meegerekend.
We usually say that f is continous in [a,b) note: b ook meegerekend.
And is in addition right continuous at a and left continous at b. It should be obvious how to define continuity on half open intervals. The conituity of a unction at all points of an interval (including one sided continuity at the end points) is often a minimum requiremet we impose when speaking about "well behaved" functions.
Eigenlijk zou deze tekst je gerust moeten stellen ...

Definities van links- en rechts continu.

The conituity of a unction at all points of an interval (including one sided continuity at the end points) is often a minimum requiremet we impose when speaking about "well behaved" functions.
Hier staat dat de meeste standaardfuncties waar je mee werkt zich 'goed gedragen' bv f(x)=x^2

Wat stoort je nog ...

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door Kelvin24 » 06 okt 2013, 20:39

Als ik het begrijp betekent het als volgt:

Als je niet naar de gehele limiet kijkt maar naar een kant, dan is het continu. Vanaf het limietpunt naar links, het negatieve limiet deel continu. Hetzelfde met de positieve kant.

Waarom kan een gehele limiet toch continu zijn. Ik heb namelijk informatie gezocht buiten mijn boek en er zijn verschillende soorten discontinuïteit. Ik begrijp daardoor het concept van een limiet niet meer. Wat heb ik eigenlijk dan aan een limiet als het continu als discontinu kan zijn? Ik dacht voorheen juist dat limieten altijd discontinu zijn en door middel van limieten je erachter kan komen wat y kan zijn.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door SafeX » 06 okt 2013, 20:48

Kelvin24 schreef: Waarom kan een gehele limiet toch continu zijn.
Een limiet is niet continu. Een functie is wel/niet continu in een bepaald punt.
De limiet is het gereedschap om eventueel continuïteit vast te stellen.

Beperk je tot opgaven over continuïteit en eventueel moet je dan een limiet bepalen ...

De standaardfuncties die je moet kennen zijn bijna zonder uitzondering continu op hun domein. Ga dat na!

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door Kelvin24 » 06 okt 2013, 20:54

Bedankt Safex, maar als check over wat ik over continuiteit zei linker en rechterkant dat klopt?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door SafeX » 06 okt 2013, 21:26

Kelvin24 schreef: maar als check over wat ik over continuiteit zei linker en rechterkant dat klopt?
Natuurlijk!

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Limieten en continuïteit

Bericht door Kelvin24 » 06 okt 2013, 22:48

Safex,

Bedankt. Ik waardeer de hulp enorm.

Plaats reactie