Bewijzen verzamelingenleer

[symeevis]

Ik moet bewijzen dat



En dit zonder venndiagrammen of rekenregels (associativiteit, commucativiteit, distributiviteit etc.)

Mijn studieboeken leggen vrijwel niet uit wat nou de regels zijn van zo'n 'bewijs.' Is dit gewoon Nederlandse taal, of zijn er regels? Of mag ik het bewijzen met voorbeeldpopulaties? Een aanwijzing bij de opdracht; "Gebruik het standaardtype bewijs, laat zien dat het linkerlid deelverzameling is van het rechter en vice versa." Maar ook deze toelichting legt niet genoeg uit.

Is dit OK?

Code: Selecteer alles

Laat A = 1,2,3
en B = 3,4,5

Linkerlid
A - B = 1,2
B - A = 4,5
Vereniging van deze is dus 1,2,4,5 oftewel; alle elementen die in beide voorkomen worden verwijderd

Rechterlid
A verenigd met B = 1,2,3,4,5
A doorsnede B = 3
De vereniging minus de doorsnede verwijderd dus óók alle elementen die in beide voorkomen

Er staan wat 'bewijzen' in mijn studieboeken maar deze zijn altijd een flinke lap tekst waar ik hoofdpijn van krijg, er staat echter nergens of een bewijs altijd zo in elkaar moet steken. Kan iemand me meer vertellen?

[David]

Goed voorbeeld.
Ik zou dan de definities van vereniging en doorsnede gebruiken.
is de verzameling van alle elementen die in C of in D zitten.
is de verzameling van alle elementen die in C en D zitten.
C - D is de verzameling van alle elementen die in C zitten zonder de elementen uit D.

[symeevis]

Maar dit is binnen de verzamelingleer toch al een gegeven? Denk niet dat de examinator meerwaarde ziet in het uitleggen van hoe doorsnede / vereniging werkt. Of hoort dit in een 'bewijs' juist wel thuis?

[SafeX]

Wanneer zijn twee verz gelijk ...?

Stel a is element van de verz links ...
Stel b is element van de verz rechts ...

[symeevis]

Wanneer zijn twee verz gelijk ...?

Stel a is element van de verz links ...
Stel b is element van de verz rechts ...

2 verz zijn gelijk als ze exact dezelfde elementen bevatten. De vraag is, hoe schrijf ik dit in een 'bewijs' dat door mijn examinator wordt geaccepteerd? Is mijn voorbeeld al goed of zijn er regels?

[SafeX]

2 verz zijn gelijk als ze exact dezelfde elementen bevatten.

Twee verz L en R zijn gelijk als:

[David]

[SafeX]

Hier ga je al uit dat L=R zou kunnen zijn, dat is niet de bedoeling.

[David]

O, ik heb geleerd dat wil zeggen maar strict niet , en wil zeggen L is een subset van R of
L = R. Dan kunnen we verder gaan met jouw notatie.

Maar dit is binnen de verzamelingleer toch al een gegeven? Denk niet dat de examinator meerwaarde ziet in het uitleggen van hoe doorsnede / vereniging werkt. Of hoort dit in een 'bewijs' juist wel thuis?

Ja, maar dan kan je het wel gebruiken in plaats van alleen noemen.
Dit zou je ook in woorden kunnen zeggen. Je kan etc. ook zo weergeven.

[David]

Ik heb het opgezocht,
Seymour Lipschutz, Marc Lipson
Schaum's outline of Theory and Problems of Discrete mathematics. blz 18
(specifiek de gedeelten met een rechthoek met dikke rand.

[SafeX]

Ik heb ook niet gezegd dat het fout is, maar je moet zo 'zuinig' mogelijk werken.

[symeevis]

Volgens mij moet ik even een stapje terug nemen. Ik dacht dat als er gevraagd werd te bewijzen;



dat ik dan specifiek moest aangeven dat A min B, verenigd met B min A, hetzelfde is als A verenigd met B, min A doorsnede B. Maar als ik jullie formule zo zie;



dan geef je slechts aan dat als het rechterlid een deelverzameling is van het linkerlid en vice versa, dat deze 2 verzamelingen aan elkaar gelijk zijn.

Nu ben ik dus in de war, want jullie bewijs legt iets heel abstracts binnen de verzamelingenleer uit terwijl ik dacht dat ik veel specifieker de 'equality' van beide formules uit moest leggen. Dit is dus helemaal niet zo?

[David]

Het zijn twee verschillende manieren van bewijzen.

Ik dacht dat als er gevraagd werd te bewijzen ... dat ik dan specifiek moest aangeven dat A min B, verenigd met B min A, hetzelfde is als A verenigd met B, min A doorsnede B.

ja, dat kan je laten zien met die eigenschap, het zijn twee manieren van bewijzen. Wat bedoel je met "abstracts" en de "'equality' van beide formules uit moest leggen."?

[symeevis]

Het zijn twee verschillende manieren van bewijzen.

Ik dacht dat als er gevraagd werd te bewijzen ... dat ik dan specifiek moest aangeven dat A min B, verenigd met B min A, hetzelfde is als A verenigd met B, min A doorsnede B.

ja, dat kan je laten zien met die eigenschap, het zijn twee manieren van bewijzen. Wat bedoel je met "abstracts" en de "'equality' van beide formules uit moest leggen."?

Nou, er is me dus gevraagd het volgende te bewijzen



oftewel dat de uitkomst van de linker formule precies hetzelfde is als de uitkomst van de rechter formule. Bij mijn bewijs laat ik dit direct zien, bij jullie bewijs wordt er al aangenomen (niet eens vermeld) dat deze specifieke formules links en rechts hetzelfde resultaat hebben. Er wordt slechts aangetoond dat alle formules waar links en rechts deelverz. van elkaar zijn, ze wel aan elkaar gelijk moeten zijn. Maar dat zegt toch niets over de huidige formules?



We hebben hiermee toch helemaal niet bewezen dat de formules uit de vraagstelling hetzelfde resultaat opleveren?

[David]

O, maar die regel is geen bewijs op zich maar een regel die je kan helpen het bewijs te geven. Als je kan aantonen dat de verzameling "links" een deelverzameling is van de verzameling "rechts" en vice versa heb je aangetoond dat de beide verzamelingen gelijk zijn. Maar je hebt al een bewijs?