Total derivative of higher order

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Total derivative of higher order

Bericht door Kelvin24 » 20 okt 2013, 15:58

Beste allemaal,

g(t) = z = f(x,y) where x = x0+th en y = y0+tk

The first order:
g'(t)= f'1 (x,y) * dx/dt + f'2 (x,y) * dx/dt

The second order:
g"(t) = d/dt f'1 (x,y)* h + d/dt f'2 (x,y)* k

To evaluate the derivatives on the right hand side, we must use the chain rule again. This gives us:
d/dt f'1 (x,y)= f"11 (x,y) * dx/dt + f"12 (x,y) * dy/dt
d/dt f'2 (x,y)= f"21 (x,y) * dx/dt + f"22 (x,y) * dy/dt

Ik snap de second order niet. Ik teken namelijk een diagram en op basis daarvan doe ik het.
Ik heb dan het volgende:

voor de first order:
x - t
z gaat naar x en y en x en y gaan naar t. Dus z<
y - t

dz/dt = dz/dx * dx/dt + dz/dy * dy/dt

Voor de second order:
x - t
dz/dt gaat naar x en y en x en y gaan naar t. dus dz/dt <
y - t
d"z/dt = f"(x) * dx/dt + f"(y) * dy/dt


Ik ga dz/dt afleiden naar x en vermenigvuldig dat met dx/dt en tel dat op met y. En bij y doe ik hetzelfde als wat ik bij x heb gedaan. Zo zou ik het doen, maar in het boek staat er totaal iets anders.

En waarom maak je van dx/dt en dy/dt niet ook een tweede afgeleide, maar alleen van dz/dt?

Alvast bedankt.

Ik hoop dat het te begrijpen is.
Laatst gewijzigd door Kelvin24 op 20 okt 2013, 16:07, 1 keer totaal gewijzigd.

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Total derivative of higher order

Bericht door Kelvin24 » 20 okt 2013, 16:06

Want als ik van de afgeleide een tweede afgeleide wil en omdat het een functie is van twee variabelen dan moet ik toch de afgeleide differentiëren naar x en naar y? Waarom staat er in het boek dat als je differentieert naar x dat je eigenlijk moet differentiëren naar x als y en dit ook bij y?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Total derivative of higher order

Bericht door SafeX » 20 okt 2013, 16:18

Kelvin24 schreef:Want als ik van de afgeleide een tweede afgeleide wil en omdat het een functie is van twee variabelen dan moet ik toch de afgeleide differentiëren naar x en naar y?
Ik weet niet wat je bedoelt, maar je kan nooit naar twee variabelen differentiëren ...
Waarom staat er in het boek dat als je differentieert naar x dat je eigenlijk moet differentiëren naar x als y en dit ook bij y?
Hier weet ik helemaal niet wat je bedoelt ...

Als je een functie hebt van twee (onafh) var x en y, kan je alleen naar x of naar y differentiëren! Als je naar x differentieert is y een constante en andersom. Dit heet partieel differentiëren.

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Total derivative of higher order

Bericht door Kelvin24 » 20 okt 2013, 16:42

Ik ben momenteel bezig met total derivative waar z een functie is van x en y. X en Y zijn op zich zelf ook een functie van t. Ik wil de afgeleide weten van z naar t. Ik moet dan z differentiëren naar x en x differentiëren naar t en met elkaar vermenigvuldigen. En dit optellen met y. Bij y doe ik precies hetzelfde als wat ik met x heb gedaan.

Vervolgens wil ik hier de tweede afgeleide van maken. En hier loop ik vast. Ik weet namelijk niet hoe je dat moet doen. Ik denk zelf dat ik de afgeleide van functie z differentieer. En precies hetzelfde doe. Dus de afgeleide functie z differentieer naar x en x differentiëren naar t en met elkaar vermenigvuldigen. En optellen met y. Hetzelfde met y doen als x.

In het voorbeeld van mijn boek staat als je de afgeleide differentieert dat je dan het volgende moet doen:

f' dus differentieert naar t: Dus f' differentieert naar x en x differentieert naar t ect. (precies zoals ik het zou doen). Alleen staat er als je differentieert naar x en naar y je het volgende moet gaan doen namelijk:

Differentiëren naar x:

f"xx * dx/dt + f"xy * dy/dt = f"xx * h + f"xy * k

Differentiëren naar y:
f"yx * dx/dt + f"yy * dy/dt = f"yx * h + f" yy * k


Dus de tweede afgeleide is:
f"xx * h^2 + 2f"xy *hk + f"yy * k^2

Als we ervan uit gaan dat f"xy = f"yx
h= dx/dt
k= dy/dt

Ik hoop dat dit begrijpgaarder is.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Total derivative of higher order

Bericht door SafeX » 20 okt 2013, 16:46

Dit is duidelijker.

Pak een opgave en behandel deze op de gevraagde wijze ...

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Total derivative of higher order

Bericht door Kelvin24 » 20 okt 2013, 16:46

Misschien dat dit duidelijker is. Ik heb dit van bron:
http://www.tutorhelpdesk.com/homeworkhe ... -Help.html

Second-Order Total Differentials

The second-order total differential of a function of two variables is defined and obtained from the first order differential. If z = f (x,y), the first-order total differential of z is

dz = fx dx + fy dy.

The second-order total differential of z, denoted by d2z, is given by d2z = d (dz). Thus

d2z =d (fx dx + fy dy)

= ∂/∂x (fx dx + fy dy) dx + ∂/∂y (fxdx + fy dy) dy

= [fxx dx + fx ∂/∂x (dx) + fyx dy + fy ∂/∂x (dy)] dx

+ [fxy dx + fx ∂/∂y (dx) + fyy dy + fy ∂/∂y (dy)] dy

However, dx and dy are considered as constants, so

∂/∂x (dx) = 0, ∂/∂x (dy) = 0, ∂/∂y (dx) = 0, ∂/∂y (dy) = 0

d2z = (fxxdx + fxy dy) dx + (fxy dx + fyy dy) dy
(assuming fxy = fyx)

= fxx (dx)2 + fxy dx dy + fxy dx dy + fyy (dy)2

= fxx (dx)2 + 2fxy dx dy + fyy (dy)2 .

Hence the second-order total differential of z is

d2 z = fxx (dx)2 + 2fxy dx dy + fyy (dy)2.

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Total derivative of higher order

Bericht door Kelvin24 » 20 okt 2013, 16:48

Ik snap niet waarom als je naar bijvoorbeeld x differentieert eigenlijk differentieert naar x en y? En waarom dx/dt niet daar ook een tweede afgeleide van maakt.

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Total derivative of higher order

Bericht door Kelvin24 » 20 okt 2013, 17:07

Want bij higher order partial derivative doe je hetzelfde namelijk:

f'x naar f"xx en f'x naar f"yy en daarnaast doe je nog f'xy en f'yx en dat noemen we ook wel de mixed partial derivative en dat die aan elkaar gelijk moeten zijn. En dat doe je meer als controle om te kijken of je het wel goed heb gedifferentieerd.

Maar waarom moet je dan bij de total derivative dat dan wel meenemen in je berekening?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Total derivative of higher order

Bericht door SafeX » 20 okt 2013, 19:36

Kelvin24 schreef: Differentiëren naar x:

f"xx * dx/dt + f"xy * dy/dt = f"xx * h + f"xy * k
Wat differentieer je hier naar x ...

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Total derivative of higher order

Bericht door Kelvin24 » 20 okt 2013, 21:43

Je differentieert f'x naar x.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Total derivative of higher order

Bericht door SafeX » 20 okt 2013, 22:21

Kelvin24 schreef:Je differentieert f'x naar x.
Moet dat niet f'(z) zijn?

Graag volledig: wat is f'(x)

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Total derivative of higher order

Bericht door Kelvin24 » 20 okt 2013, 22:43

f'(x) houdt in dat je de functie afleidt en dat de variabele x is. Alle x'sen in de functie zijn een variabele en de rest zijn een constante. De constante worden allemaal nul als je die differentieert.

Waarom is da f'(z)? Als ik de functie f met de variabelen x en y dus z=f(x,) en ik wil het differentieren naar t. En ik wil daar de tweede afgeleide van dan differentieer ik toch weer naar t?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Total derivative of higher order

Bericht door SafeX » 21 okt 2013, 09:03

Ik kan je niet helpen, zolang ik niet weet wat jij 'voor je neus' hebt staan ...

Wees nauwkeurig!

Kelvin24
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 156
Lid geworden op: 05 mar 2013, 14:56

Re: Total derivative of higher order

Bericht door Kelvin24 » 21 okt 2013, 11:27

Ik wil de functie z = f(x,y) differentieren naar t. X en Y zijn opzich zelf ook een functie. En t is de variabele van de functie x en y. Om z te kunnen differentieren moet ik langs x en y gaan waardoor ik z eerst differentieer naar x en y dus dz/dx en dz/dy. Vervolgens differentieer ik x en y naar t dus dx/dt en dy/dt. En vervolgens tel ik ze bij elkaar op. Wat ik dan heb gedaan is het volgende:

dz/dx * dx/dt + dz/dy * dy/dt = z'

Nu wil ik vervolgens z' een tweede afgeleide van maken. Ik wil hier ook het differentieren naar t. En hoe moet ik dat dan doen? Ik maak bij de eerste afgeleide namelijk gebruik van een diagram. Z is een functie van x en y en x en y zijn een functie van t. Om die reden kan ik dan de volgende diagram tekenen:
x - t
z <
y - t

En op basis van deze diagram differentieer ik alles.

Bij de tweede afgeleide weet ik niet goed hoe ik een diagram zou moeten tekenen. Ik heb het volgende getekend:

dx - x - t
z' <
dy - y - t

Ik denk alleen dat het niet goed is.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Total derivative of higher order

Bericht door SafeX » 21 okt 2013, 16:31

Kelvin24 schreef: Second-Order Total Differentials

The second-order total differential of a function of two variables is defined and obtained from the first order differential. If z = f (x,y), the first-order total differential of z is

dz = f_x dx + f_y dy.

The second-order total differential of z, denoted by d2z, is given by d^2z = d (dz). Thus

d^2z =d (f_x dx + f_y dy)

= ∂/∂x (fx dx + fy dy) dx + ∂/∂y (fxdx + fy dy) dy

= [fxx dx + fx ∂/∂x (dx) + fyx dy + fy ∂/∂x (dy)] dx

+ [fxy dx + fx ∂/∂y (dx) + fyy dy + fy ∂/∂y (dy)] dy

However, dx and dy are considered as constants, so

∂/∂x (dx) = 0, ∂/∂x (dy) = 0, ∂/∂y (dx) = 0, ∂/∂y (dy) = 0

d^2z = (f_xxdx + f_yx dy) dx + (f_xy dx + f_yy dy) dy
(assuming f_xy = f_yx)

= f_xx dx^2 + f_xy dx dy + f_xy dx dy + f_yy dy^2

= f_xx dx^2 + 2f_xy dx dy + f_yy dy^2 .
Zo klopt het helemaal!

Plaats reactie