De paradox van Zeno

Dit is de plek voor onzin, off-topic gebrabbel en idiote moppen.
Plaats reactie
David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

De paradox van Zeno

Bericht door David » 21 okt 2010, 19:25

Volgens "Het Wiskunde Boek" van Clifford, lijdt de paradox van Zeno tot de bewering dat beweging niet bestaat, dan wel een illusie is. De engelse wikipedia beweert hetzelfde over de paradox. Verder is een paradox dat je nooit een deur kan bereiken. Er is een afstand tussen jou en de deur. Stel: de afstand tussen jou en de deur is 1: Om de afstand af te leggen, moet je eerst tot de helft komen. 1/2. Blijf nog 1-1/2=1/2 afstand over om af te leggen. Daarvan moet je eerst de helft, 1/4 afleggen. In totaal heb je dan 1/2+1/4 afgelegd.

Als je zo doorgaat heb je op het "eind" 1/2+1/4+1/8+1/16+...+1/(2^n) afgelegd, voor een oneindig grote n. Dat zou niet gelijk zijn aan 1, dus bereik je de deur niet. Tegenwoordig zeggen we van wel.

Ik heb nu 2 paradoxen genoemd. Als je die samen leest, zit daarin ook een paradox. De eerste stelt dat beweging een illusie is. Bij het tweede bestaat beweging wel, maar bereik je geen doel (deur).

Stel nou dat het tweede paradox ook een "probleem" vormt. Je kan nooit een deur bereiken. Je zou ook een "schaduwafstand" kunnen afleggen. Stel nu dat de schaduwafstand 4/3 is, en je wilt bij 1 (de deur) komen.

Eerst leg je 2/3 af. Dan is er nog 2/3 af te leggen, en dan leg je 1/3 af. Dan heb je 2/3+1/3=1 afgelegd. Deur bereikt. Is 4/3 afstand te ver? maak je de afstand 8/7 (4/7+2/7+1/7=1, deur bereikt) of 16/15 of
met n is het aantal keer dat je een afstand af kan leggen.

Om de paradox te overbruggen, moet je het doel of de grens (deur) dus voor jezelf iets verder schuiven dan die werkelijk is. Als Zeno dat ook gedaan had, kon ook hij een deur bereiken.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: De paradox van Zeno

Bericht door op=op » 22 okt 2010, 09:01

De fout in dit soort paradoxen zit hem in het feit dat je een beweging bestudeert zonder gebruik te maken van het begrip tijd.
Met wiskunde kun je slechts foto's bestuderen. Wiskunde + tijd = natuurkunde.
Beweging heeft te maken met snelheid, en dat is weer afhankelijk van tijd.
Je kunt een beweging niet zuiver wiskundig beschrijven, daarvoor heb je de tijd nodig.
Met foto's (snapshots) alleen kan ik geen enkele voorspelling doen over zaken die van de tijd afhangen zoals in de genoemde paradoxen.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: De paradox van Zeno

Bericht door David » 22 okt 2010, 13:15

De "link" met natuurkunde had ik zo nog niet bekeken. Ik vind het wel bijzonder dat er dan sommige wiskundigen zijn (volgens Pickover, de auteur), die stellen dat tijd discreet is en niet. Dan denk ik dat wiskunde niet altijd toe te passen is op de werkelijkheid, als tijd discreet zou zijn in de wiskunde.

Een oplossing voor het probleem van de race tussen de haas en de schildpad, waar de haas 10 keer zo snel beweegt als de schildpad, is dus de tijd uit te drukken als een breuk (met een eindig aantal decimalen) in plaats van een decimaal getal (met een oneindig aantal decimalen). Die oplossing is wel wiskundig.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: De paradox van Zeno

Bericht door op=op » 22 okt 2010, 16:19

David schreef:De "link" met natuurkunde had ik zo nog niet bekeken. Ik vind het wel bijzonder dat er dan sommige wiskundigen zijn (volgens Pickover, de auteur), die stellen dat tijd discreet is en niet. Dan denk ik dat wiskunde niet altijd toe te passen is op de werkelijkheid, als tijd discreet zou zijn in de wiskunde.
Een wiskundige is een fotograaf van de werkelijkheid. Hij kan het volume en de oppervlakte van een bal bereken (is onafhankelijk van de tijd), maar zodra de bal gaat rollen draagt hij het stokje over aan de fysicus. De wiskundige kan de lengte van de kortste weg van een bal over een gekromd oppervlak berekenen (is onafhankelijk van de tijd), maar hij zal geen uitspraak doen over het gedrag van de bal tijdens het rollen. Voor een wiskundige zijn aile parametriseringen van de kromme equivalent (mits de afgelegde baan hetzelfde is), maar niet voor de fysicus. Die bekijkt de korste baan als een baan met een minimaal energieverlies.
Een wiskundige is dus een fotograaf van de werkelijkheid (geen beweging). Als een wiskundige de tijd als iets diskreets ziet, dan lijdt hij aan beroepsdeformatie, immers als een fotograaf zoiets zegt zegt dat iets over hem en niet over de bewegende werkelijkheid.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: De paradox van Zeno

Bericht door David » 22 okt 2010, 17:31

Als de "kortste weg" voor een wiskundige en een natuurkundige een andere betekenis hebben, is er geen "beste oplossing." Dan kan je zowel natuurkunde als wiskunde niet altijd toepassen op de werkelijkheid. Sterker: als je dat zou doen zou dat een vertekend beeld geven.
Het is dan jammer dat sommigen wiskundigen die denken dat tijd discreet is, daarmee denken dat wiskunde (bijna) alleszeggend is over de werkelijkheid waarin wij leven. Volgens mij kom je dan op het idee dat wiskunde een middel is om een bijv. alledaags probleem op te lossen. Niet het probleem zelf.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: De paradox van Zeno

Bericht door op=op » 22 okt 2010, 18:24

David schreef:Als de "kortste weg" voor een wiskundige en een natuurkundige een andere betekenis hebben, is er geen "beste oplossing." Dan kan je zowel natuurkunde als wiskunde niet altijd toepassen op de werkelijkheid. Sterker: als je dat zou doen zou dat een vertekend beeld geven.
Ze interpreteren eenzelfde verschijnsel in hun eigen werkelijkheid. Zo volgt volgens een wiskundige een bliksemschicht de kortste afstand, maar in de taal van de fysicus volgt hij het pad met minimaal energieverlies.
Een zeepbel in een draadraam neemt voor een wiskundige een gekromd vlak aan met minimale oppervlakte. Voor een fysicus neemt de zeepbel een vlak aan waarop de spanningen minimaal zijn. Twee verschillende zienswijzen voor een en hetzelfde verschijnsel. Twee gezichtspunten voor eenzelfde werkelijkheid.
De taak van de fysicus is de wiskunde te vertalen naar hun werkelijkheid. Zo wordt differentiaalmeetkunde algemene relativiteitstheorie. Dat geldt ook voor b.v. de econoom die de speltheorie vertaalt naar zijn werkelijkheid.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: De paradox van Zeno

Bericht door David » 23 okt 2010, 11:16

op=op schreef:Ze interpreteren eenzelfde verschijnsel in hun eigen werkelijkheid.
Bij het tweede voorbeeld dat je geeft lijkt dat goed te gaan, en misschien ligt daar ook wel een raakvlak tussen natuurkunden en wiskunde omdat dan een gekromt vlak met een minimale oppervlakte ook een minimale spanning.

Voor het eerste gaat het volgens mij mis, omdat een bliksemschicht niet persé een kortste weg, een rechte lijn aflegt, maar meer een kronkelende weg.
Afbeelding

In de wiskunde is de kortste weg een rechte weg, en dus heeft de wiskundige de werkelijkheid niet helemaal goed vertaald, zover dat mogelijk is.

Wat er wel voor te zeggen is is dat de weg van de minste weerstand samenhangt met de kortste weg. Een grote omweg, bijv. 10 keer de kortste weg, zou zoveel energieverlies leveren, dat de weg van de schicht bij benadering recht is en wordt "geoptimaliseerd" door de weg met het minste energieverlies
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

pppp
Vast lid
Vast lid
Berichten: 96
Lid geworden op: 13 apr 2010, 20:17

Re: De paradox van Zeno

Bericht door pppp » 02 nov 2010, 17:38

sidestep: misschien vind je "Godel, Escher en Bach" van Hofstadter wel leuk om te lezen. Daar komen dit soort dingen ook in terug. Een beetje speelse verhandeling over logica, inductie en dubbelzinnigheden.

Plaats reactie