Vierkant voor wiskunde

[Marco]

http://www.vierkantvoorwiskunde.nl

Deze site kregen we laatst als tip op mijn opleiding. Een site vol met leuke puzzels, informatie en andere wiskundige activiteiten. Ook organiseert deze organisatie wiskundige zomerkampen

Een tip voor wiskunde fans dus!

[luijs]

http://www.instaptoets.basisvaardighedenrekenen.wolters.nl/

En die toets moesten wij maken. Schijnt dat deze toets door VEEL studenten niet goed afgesloten wordt.....

Test je reken-kracht! (geen rekenmachine of kladpapier gebruiken natuurlijk)

[barto]

Ik ben juist terug van het Vierkant Voor Wiskunde zomerkamp en dit was één van de probleemstellingen:
je krijgt een dikke stift en een A6-blaadje en moet in 15 seconden een zo groot mogelijk getal op schrijven.
Het getal moet eindig zijn.
Volgens de begeleiders kwamen de volgende twee inzendingen op de resp. eerste en tweede plaats:

1)
Stel
Stel

Getal:
-----

2)
Stel het getal gevormd door de decimalen van pi tot er 1 miljoen negens voorkomen.
Getal:
-----

Nu was er volgens mij een andere inzending die de eerste overtreft:

3)
Stel en .

Getal:

(er zijn dus 12 l'en)
-----

En dat heb ik dus bewezen denk ik.
Laten we naar het eerste kijken:


De notatie gebruik ik voor

Zo geldt ook dat

Dat betekent dat

terug naar getal 3, dat valt heel eenvoudig te schrijven als

Het is overduidelijk dat want in het linkerlid hebben we een torentje van ocharme 75 10'en, terwijl er in het rechterlid eentje van negens staat.

We kunnen dus zeggen dat .

Dat laatste stukje ongelijkheid is ook zo klaar als een klontje, laat staan dat

-----------

Wat dat getal met pi betreft, overal staat heel duidelijk dat het nog niet is bewezen dat pi een normaal getal is (ik dacht tot nu toe ook van wel). Dus komt de reeks van 1 miljoen negens in pi niet noodzakelijk voor.

Met dit alles zou ik zeggen dat antwoord 3 (overigens het mijne ) de enige geldige winnaar is.

[op=op]

Het getal moet eindig zijn.

Wat zijn dan niet eindige getallen? Noem er 3.

Overigens, de uitdrukking van 1 met die C-tjes en die accolade zou ik niet goedkeuren. Dat is geen officiële notatie, en wat daar mee bedoelt wordt is een raadsel voor de lezer. En raden behoort een zwak punt te zijn voor een jury.

Wat dat getal met pi betreft, overal staat heel duidelijk dat het nog niet is bewezen dat pi een normaal getal is

Dat klopt, maar dat doet hier helemaal niet ter zake.

Dus komt de reeks van 1 miljoen negens in pi niet noodzakelijk voor.

Dat klopt ook. De kans daarop is echter 0. Nietemin is het geen wiskundige zekerheid.

Met dit alles zou ik zeggen dat antwoord 3 (overigens het mijne ) de enige geldige winnaar is.

Helaas. De enige winnaar behoort 1 en 2 te zijn.
Als er geen 1 miljoen (achtereenvolgende?) negens in de decimaalontwikkeling van bestaan, dan is 1 de winnaar, anders waarschijnlijk 2.

[barto]

Wat zijn dan niet eindige getallen? Noem er 3.

misschien was het woord 'eindig' wat vaag, maar het komt er op neer dat het niet oneindig groot mag zijn.
Wat jij bedoelt (denk ik) is de verwarring met getallen als 1/3, die decimaal 'oneindig' lijken te zijn.

Hoezo?
ik substitueer 1 keer L door

Overigens, de uitdrukking van 1 met die C-tjes en die accolade zou ik niet goedkeuren. Dat is geen officiële notatie, en wat daar mee bedoelt wordt is een raadsel voor de lezer. En raden behoort een zwak punt te zijn voor een jury.

akkoord, maar blijkbaar was het toch toegestaan. In mijn inzending gebruik ik daarvoor die 'recursieve functie'. Er was trouwens geen jury of zo. Je kon 15 seconden lang wat krabbelen en daarna duidelijk maken wat er precies staat. Niemand heeft echter geprobeerd het zo aan te pakken.

Dus komt de reeks van 1 miljoen negens in pi niet noodzakelijk voor.

Dat klopt ook. De kans daarop is echter 0. Nietemin is het geen wiskundige zekerheid.

Stel dat in de limiet naar 'bijna oneindig' (heel groot dus) de reeks decimalen bijna een random reeks cijfers lijkt. In dat geval valt de waarde van getal 2 heel goed te benaderen via verwachte waarden en zo. denk ik toch, want mijn kennis op dat vlak is niet bepaald groot.
(zelfde als: hoeveel keer moet je gemiddeld gooien met een dobbelsteen tot je 2 keer na elkaar zes gooit, maar dan net iets gecompliceerder)

misschien was het een slecht idee om dit in de wiskundelounge te plaatsen want dan mag ik allerhande discussies verwachten

[barto]

dat met die dobbelstenen:
is de kans om het te gooien vanaf de nde beurt.




maar hier twijfel ik al:
eerste gooi is een 6 --> de tweede is geen zes en de derde is zowiezo geen zes.
eerste gooi is geen zes --> tweede mag alles zijn en de derde is geen zes.
klopt dit dan?

nu nog wat veralgemenen zodat we het gemiddelde kunnen bepalen.
Dan nog uitbreiden naar 1 miljoen 9's voor 10 opties....

[arie]

Het kan eenvoudiger: noem a66 = het aantal malen dat je met een dobbelsteen moet gooien om 2x zes achter elkaar te gooien.

Onderscheid:
- eerste keer geen zes (kans 5/6), je hebt 1 keer gegooid moet daarna nog eens a66 keer gooien om 2x zes te gooien, dus in dit geval: a66 + 1 keer gooien
- de eerste keer zes (kans 1/6): onderscheid:
- - de tweede keer 6 (kans 1/6, in totaal kans 1/36): je bent in dit geval klaar in 2x gooien
- - de tweede keer geen zes (kans 5/6, totaal 5/36): je hebt 2 keer gegooid en bent in dezelfde situatie als in het begin: je moet nog a66 keer gooien om je resultaat te bereiken, in dit geval dus in totaal a66 + 2 keer gooien.

Vat dit samen in 1 formule:

a66 = .....

en los hieruit a66 op.

[barto]

klopt dit: a66= 5/6 * (a66 + 1) + 1/36 * 2 + 1/6 * 5/6 * (a66 + 2) ?
a66= 42

zo ja, breid ik het eens uit naar 1 miljoen negens:

a= 9/10 * (a+1) + 1/10 * ( 9/10 * (a+2) +1/10 * ( 9/10 * (a+3) +1/10 * ( 9/10 * (a+4 + 1/10 * (......) ) ) ) )

haakjes uitwerken geeft

W/A loopt er in vast:

Code: Alles selecteren

solve   ( x = 9/10 * sum k=0 to (10^6-1) (  (1/10^k * (x+k+1)) +1/(10^(10^6))*10^6 ) )

[arie]

OK, a66 = 42.

Kijk voor n negens (10-tallig) eerst nog eens naar een voorbeeld, hier voor n=3:

a =
(9/10)*(a+1)
+ (1/10)*(9/10)*(a+2)
+ (1/10)*(1/10)*(9/10)*(a+3)
+ (1/10)*(1/10)*(1/10)*3

n=3, vermenigvuldig links en rechts met 10^n = 10^3:
1000*a =
900*a + 900*1
+ 90*a + 90*2
+ 9*a + 9*3
+ 3

bundel de termen met een factor a en breng die naar links:

1000*a - 999*a = a =
900*1
90*2
9*3
+ 3

Kan je hiervoor een sommatie maken voor n in het algemeen?

Kan je hiermee a bepalen voor n=1000000 ?

[barto]

en weer faalt W/A.

intuïtief lijkt dit toch nog steeds kleiner dan

[arie]

Kijk eerst eens naar de waarden van a(n) voor n = 1 t/m 4

Kan je vervolgens met volledige inductie naar n bewijzen dat

[barto]

jazeker, maar ik zou er nooit opgekomen zijn
voor n=1 is het duidelijk.
we krijgen

zoals gewild.

nu ben ik er zeker van dat het absoluut niet zo groot is.

[arie]

... Overigens, bij het grootste getal dat je binnen 15 sec. had kunnen opschrijven dacht ik onmiddellijk aan de som van de getallen die door mijn tegenstevers op hebben geschreven maal 3 + 1.

Heel listig!

(dan natuurlijk wel hopen dat er niemand gediskwalificeerd wordt omdat hij/zij foutief naar oneindig gaat)

[barto]

Nee dat was expliciet verboden
ze hadden dat wel degelijk voorzien

[wnvl]

Heel listig!

(dan natuurlijk wel hopen dat er niemand gediskwalificeerd wordt omdat hij/zij foutief naar oneindig gaat)

of dat de anderen zo dom zijn om negatieve getallen op te schrijven