notatie

[Sjoerd Job]

Uiteraard afhankelijk van de gekozen definitie van de limiet.

Je gebruikt een heel ongebruikelijke definitie van limiet.
Kun je een referentie geven waar jouw definitie van limiet wordt gehanteerd?

Ja hoor, in het dictaat van het vak `Analyse' op de universiteit utrecht.
http://www.staff.science.uu.nl/~ban0010 ... n2011.html
Dit is tevens het vak waarvoor ik al enkele jaren studentenassistent ben, en dus ook nagenoeg de enige definitie van de limiet die ik tegenkom. Ikzelf vind het mooie van deze definitie onder andere dat als , en , dan . (Tevens maakt het het aantal eisen aan de substitutiestelling wat minder maakt).

[op=op]

OK in Utrecht, maar in de rest van de wereld gebruikt men de volgende definitie
http://en.wikipedia.org/wiki/(ε,_δ)-definition_of_limit

(de volledige url kan niet worden weergegeven in dit forum )

Ze zij in Utrecht blijkbaar goed in het bedenken van "handigheidjes", zie het symbool . Je moet je wel bedenken dat niemand je meer kan volgen, buiten de stadsmuren van Utrecht.

[Sjoerd Job]

OK in Utrecht, maar in de rest van de wereld gebruikt men de volgende definitie
http://en.wikipedia.org/wiki/(ε,_δ)-definition_of_limit

(de volledige url kan niet worden weergegeven in dit forum )

Klopt, ik heb deze gelezen. Het enige voorval wanneer ze elkaar echt tegenspreken is wanneer en in de `wereldse' definitie.

Tevens vind ik het zelf een beetje raar dat je eist dat de functie gedefinieerd is op een gepuncteerde omgeving van . Wanneer je een functie kan de limiet toch best wel bestaan, ook al is er geen enkele omgeving (gepuncteerd of niet) waarop gedefinieerd is...

[David]

Voor kunnen we het dus wel eens worden over een definitie, maar hoe zit het met ... Kunnen we het ermee eens zijn dat deze som alleen maar zin heeft als voor voldoende grote k?

Ik kan erin komen, maar niet volledig. Ik zal eventueel bezwaar toelichten.

Stel
Dan

Er is toch een regel die zegt:

en
Dus dan krijg je iets als en dat is toch onbepaald?

Ik kan me wel een voorstelling maken bij ;
Bijvoorbeeld:

Want "oneindig" kan verschillende waarden hebben. Vervolgens is die niet som niet gedefinieerd.

[Sjoerd Job]

Voor kunnen we het dus wel eens worden over een definitie, maar hoe zit het met ... Kunnen we het ermee eens zijn dat deze som alleen maar zin heeft als voor voldoende grote k?

Ik kan erin komen, maar niet volledig. Ik zal eventueel bezwaar toelichten.

Stel
Dan

Er is toch een regel die zegt:

en
Dus dan krijg je iets als en dat is toch onbepaald?

in feite zelfs , maar alleen als , en .
Je maakt nu eenzelfde fout als , en omdat het laatste onbepaald is, zou het eerste onbepaald moeten zijn, maar dat is niet zo.

[David]

in feite zelfs

,
Dank je .

maar alleen als , en .

Ik ging ervanuit dat dat een eis was van de limieten in de sigma-notatie.
Of zijn bijv. en/of ook gedefinieerd ook gedefinieerd?

Je maakt nu eenzelfde fout als , en omdat het laatste onbepaald is, zou het eerste onbepaald moeten zijn, maar dat is niet zo.

Dit probleem verwart me:
Stel de x-as. Iemand neemt een punt op de x-as in gedachten. Een volledig willekeurig punt wordt gekozen op de x-as. De kans dat dat punt *precies* het punt is dat in gedachten werd genomen is 0. De kans dat je een punt kiest de x-as is 1.
Dus 0+0+0+0+0+...+0+0+0+0=1
Of dan ook 2 of 3 of...
Maar als je 0 ergens bij optelt komt het hetzelfde uit, dus dan zou de kans dat je een punt op de x-as kiest 0 zijn.

[Sjoerd Job]

in feite zelfs

,
Dank je .

maar alleen als , en .

Ik ging ervanuit dat dat een eis was van de limieten in de sigma-notatie.
Of zijn bijv. en/of ook gedefinieerd ook gedefinieerd?

Je maakt nu eenzelfde fout als , en omdat het laatste onbepaald is, zou het eerste onbepaald moeten zijn, maar dat is niet zo.

Dit probleem verwart me:
Stel de x-as. Iemand neemt een punt op de x-as in gedachten. Een volledig willekeurig punt wordt gekozen op de x-as. De kans dat dat punt *precies* het punt is dat in gedachten werd genomen is 0. De kans dat je een punt kiest de x-as is 1.
Dus 0+0+0+0+0+...+0+0+0+0=1
Of dan ook 2 of 3 of...
Maar als je 0 ergens bij optelt komt het hetzelfde uit, dus dan zou de kans dat je een punt op de x-as kiest 0 zijn.

0+0+0+ ... +0 /= 1...
Over spreek je ook niet over `de kans op dit punt', maar op de `kans van een interval'. Bijvoorbeeld, als je willekeurig een punt in het interval kiest, is de kans dat het gekozen punt in ligt, (met ) gelijk aan . De verwachtingswaarde gaat dan ook al over van som naar integraal, en dergelijke.

[David]

'de kans op dit punt', maar op de `kans van een interval'.

Dit verwarde me dus; mijn docent stelde de vraag met een kans op een punt en dan:
Wat is het nu: 0+0+0+0+...+0+0+0=0 of 0+0+0+0+...+0+0+0=1? Het is dus 0, gedefinieerd,
Maar dan is de kans op een punt in het interval [0.8;0.8] gelijk aan 0, en alle intervallen [a,a] tussen [0.7;0.8] hebben samen een kans op 0.8-0.7=0.1. Of was het a<b?

[Sjoerd Job]

'de kans op dit punt', maar op de `kans van een interval'.

Dit verwarde me dus; mijn docent stelde de vraag met een kans op een punt en dan:
Wat is het nu: 0+0+0+0+...+0+0+0=0 of 0+0+0+0+...+0+0+0=1? Het is dus 0, gedefinieerd,
Maar dan is de kans op een punt in het interval [0.8;0.8] gelijk aan 0, en alle intervallen [a,a] tussen [0.7;0.8] hebben samen een kans op 0.8-0.7=0.1. Of was het a<b?

Je kan het ook als limiet-procede zien. Als je verdeelt in intervallen van lengte , heeft elk interval kans , en samen hebben ze kans .

Maar de kans dat jou favoriete getal exact wordt gekozen is 0.

[David]

Kan je het interval [0, 1] dan verdelen in n intervallen [c,c] met ?
Want dan, lijkt me, krijg je oneindig veel intervallen [c,c] tussen [0,1]

en dat heeft dan geen oplossingen voor n, maar dan kan je [0,1] niet opdelen in intervallen met lengte 0.

Het wordt wel warrig, want dan heb je ook:
(of bijv. 0.1 als wel [0.1;0.2] in intervallen gaan verdelen.)

[Sjoerd Job]

Kan je het interval [0, 1] dan verdelen in n intervallen [c,c] met ?
Want dan, lijkt me, krijg je oneindig veel intervallen [c,c] tussen [0,1]

en dat heeft dan geen oplossingen voor n, maar dan kan je [0,1] niet opdelen in intervallen met lengte 0.

Het wordt wel warrig, want dan heb je ook:
(of bijv. 0.1 als wel [0.1;0.2] in intervallen gaan verdelen.)

En dat is dus het verschil tussen `limiet nemen naar 0', en `0 invullen'. Het is niet mogelijk om [0,1] in een eindig aantal intervallen met lengte 0 te verdelen.

[David]

Ok, dan hebben we dus dat als je willekeurig een punt in het interval kiest, is de kans dat het gekozen punt in ligt, (met ) gelijk aan .

[Sjoerd Job]

Ok, dan hebben we dus dat als je willekeurig een punt in het interval kiest, is de kans dat het gekozen punt in ligt, (met ) gelijk aan .

Klopt. Als bijzonder geval is de kans dat het in ligt dus gelijk aan 1, en de kans dat het in ligt dus gelijk aan (dezelfde kans geldt ook voor . De kans dat je een breuk kiest is trouwens ook 0 (omdat daar maar zo weinig van zijn).

[David]

De kans dat je een breuk kiest is trouwens ook 0 (omdat daar maar zo weinig van zijn).

Dat komt toch omdat er aftelbaar veel rationale getallen, "breuken" zijn en een overaftelbaar aantal reële getallen? Tenminste, de cardinaliteit van de eerste verzameling, is en van de 2e verzameling, is de cardinaliteit .

[Sjoerd Job]

De kans dat je een breuk kiest is trouwens ook 0 (omdat daar maar zo weinig van zijn).

Dat komt toch omdat er aftelbaar veel rationale getallen, "breuken" zijn en een overaftelbaar aantal reële getallen? Tenminste, de cardinaliteit van de eerste verzameling, is en van de 2e verzameling, is de cardinaliteit .

Klopt... Anderzijds, dat is niet de volledige reden... Stel bijvoorbeeld het volgende experiment voor:
Je kiest willekeurig een punt in het vierkant . De kans dat je een punt op de x-as kiest is 0. Maar de cardinaliteit van het vierkant is gelijk aan de cardinaliteit van (de x-as).

Sterker nog, omdat de cardinaliteiten gelijk zijn, is er dus een functie . De kans dat je dan een punt in kiest uit is dus 0.