notatie

Bericht door **David** » 21 mar 2011, 22:06

$a=\sum_{k=0}^{n} f(k)$
zegt ons:
$a=f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n-1)+f(n)$

Dus
$a=\sum_{k=0}^{\infty} f(k)$
zegt ons:
$a=f(0)+f(1)+f(2)+...+f(\infty-1)+f(\infty)$
Toch(?!!)

De notatie, $\sum_{k=0}^{\infty} f(k)$ , lijkt me onjuist, omdat je met "oneindig" rekent, hoewel ze erg vaak gebruikt wordt. Juist lijkt me een limiet te introduceren;

$a=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n} f(k)$ zodat je niet met oneindig rekent.

Maar dat zal wel tegen oude gewoonten ingaan.

Bericht door **op=op** » 22 mar 2011, 07:55

Als
$\sum_{k=0}^{n} f(k) =_D f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n-1)+f(n)$ ,
dan kun je daar geen betekenis aan ontlenen voor de kreet
$\sum_{k=0}^{\infty} f(k)$ ,

$\infty$ is immers geen getal, dus (als je er nog geen speciale betekenis aan gegeven hebt) staat hier iets onleesbaars.
Dat komt dan prima uit, want dat geeft de gelegenheid er een betekenis aan gaan geven.
We definiëren
$\sum_{k=0}^{\infty} f(k) = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n} f(k)$

Het is belangrijk altijd netjes te werk te gaan en een onderscheid te maken tussen een rij partiële sommen
(=een reeks) $\sum f(k)$ en (indien bestaand) zijn limiet $\sum_{k=0}^{\infty} f(k)$ .
ZIe http://nl.wikipedia.org/wiki/Reeks_(wiskunde)
een goed voorbeeld
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=397833
een slordig exemplaar
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=397843

Bericht door **David** » 22 mar 2011, 17:56

Ok dank je, als het aantal termen van een rij die opgeteld een reeks vormen, is de afspraak:
$\sum f(k):=\sum_{k=1}^{\infty} f(k)$

Maar je laat zelf de index beginnen bij k=0, je bronnen bij k=1. Is daar nog verschil in afspraak?

Bericht door **op=op** » 22 mar 2011, 18:30

David schreef:Ok dank je, als het aantal termen van een rij die opgeteld een reeks vormen, is de afspraak:
$\sum f(k):=\sum_{k=1}^{\infty} f(k)$

Maar je laat zelf de index beginnen bij k=0, je bronnen bij k=1. Is daar nog verschil in afspraak?

Nee, er is een groot verschil tussen een reeks en zijn limiet.

Bijv. $\sum n!$ is een reeks (geen getal), d.w.z. het is een verkorte schrijfwijze voor de rij 1!, 1!+2!, 1!+2!+3!, ...
Als die rij een limiet heeft heet hij de limiet (of ook wel de som) van de reeks.
Amerikanen zijn heel slordig (evenals iedereen die die Amerikanen naäapt) en schrijven die reeks als
1!+2!+3!+... .
Tsja, als men zo slordig noteert is het niet verwonderlijk dat men reeksen met hun rijsom gaat verwarren.
Niet elke reeks heeft een limiet.

Bericht door **David** » 22 mar 2011, 19:29

op=op schreef: Bijv. $\sum n!$ is een reeks (geen getal), d.w.z. het is een verkorte schrijfwijze voor de rij 1!, 1!+2!, 1!+2!+3!, ...

Dit stuk begrijp ik niet helemaal. Een reeks is een verkorte schrijfwijze voor een rij?
Is de volgende zijn juist:
"Een rij sommeert tot een reeks"?

Bericht door **op=op** » 22 mar 2011, 21:48

David schreef:
op=op schreef: Bijv. $\sum n!$ is een reeks (geen getal), d.w.z. het is een verkorte schrijfwijze voor de rij 1!, 1!+2!, 1!+2!+3!, ...
Dit stuk begrijp ik niet helemaal. Een reeks is een verkorte schrijfwijze voor een rij?
Is de volgende zijn juist:
"Een rij sommeert tot een reeks"?

Taalkundig is er nauwelijks of geen verschil tussen de begrippen rij en reeks.
Wiskundig is er wel een duidelijk verschil, elke reeks is een rij, maar niet elke rij is een reeks.
De situatie is als volgt. Je hebt een oneindige rij getallen, zeg $\frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2},\frac{1}{4^2},\cdots$ .
Je wilt die getallen bij elkaar optellen om zo tot zoiets als $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$ te geraken.
Wat versta je onder $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$ ?
Daaronder versta je de limiet
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots + \frac{1}{n^2}$
of anders gezegd de limiet van de rij
$\frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}, \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}, \cdots$
Deze rij wordt een reeks genoemd. Het is de reeks die behoort bij de rij $\frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2},\frac{1}{4^2},\cdots$ .

Bericht door **David** » 22 mar 2011, 22:11

Ik denk dat ik je begrijp.

We hebben losse elementen. Je voorbeeld:
$\frac{1}{2^2}$ en $\frac{1}{3^2}$ en $\frac{1}{4^2}$ en ...

Van die elementen kunnen we een rij maken, door ze achter elkaar te zetten gescheiden door komma's.
$a_1=\frac{1}{2^2},\; a_2=\frac{1}{3^2},\; a_3\frac{1}{4^2}$ etc
$\frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2},\frac{1}{4^2},...$

Van die rij kan je een reeks maken. Je telt het eerste element, dan de eerste 2 elementen, dan de eerste 3 elementen enzovoorts bij elkaar op.
Je krijgt dus
$\sum_{k=1}^{1} a_k,\;\sum_{k=1}^{2} a_k,\;\sum_{k=1}^{3} a_k$ etc als nieuwe elementen.

Als die resultaten vormen weer nieuwe elementen die een rij vormen

op=op schreef: $\frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}, \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}, \cdots$

Omdat elk element n van de rij de som is van de eerste n elementen van de "vorige" rij, wordt de rij ook een reeks genoemd. Omdat de waarde van de reeks convergeert, "naar een getal toe gaat," heeft de rij een (eindige!) limiet.

Bericht door **op=op** » 22 mar 2011, 22:30

Correct.

Bericht door **David** » 23 mar 2011, 15:56

Dat is fijn, bedankt voor je uitleg, op=op!

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 23 mar 2011, 19:04

Merk op dat bij een rij $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ een rij $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ te maken valt waarvoor $s_n = \sum_{k=0}^n a_k$ . Deze rij noemen we een reeks, ofwel de rij partiele sommen.

Merk tevens op dat de notatie
$\sum_{k=-\infty}^\infty a_k$
ook om een soortgelijke definitie vraagt. Meestal wordt
$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n a_k$
gekozen.

Merk op dat we veelal rijen in $\mathbb{R}$ tegenkomen, waarvan we de rij partiele sommen kunnen maken, maar er zijn ook rijen in andere verzamelingen. Tevens hoeft niet elke rij te convergeren. In alle algemeenheid is een rij slechts een functie met domein $\mathbb{N}$ en codomein een andere verzameling $V$ . Tevens, als $V$ geen metriek (afstandsbegrip) heeft, is het spreken over convergentie en divergentie zinloos (en onmogelijk).

Bericht door **op=op** » 24 mar 2011, 08:07

Sjoerd Job schreef: Merk tevens op dat de notatie
$\sum_{k=-\infty}^\infty a_k$
ook om een soortgelijke definitie vraagt. Meestal wordt
$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n a_k$
gekozen.

Volgens deze definitie is
$\sum_{k=-\infty}^\infty k^3 = 0$ ,
hetgeen tegen mijn haren instrijkt.

Meer naar mijn smaak is de definitie
$\sum_{k=-\infty}^\infty a_k =_D \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n a_k + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_{-k}$
mits de limieten in het rechter lid bestaan.

(Voor ingewijden: In topologische ruimten kennen we een generalisatie van het begrip rij, n.l. het net. Netten kunnen convergeren en divergeren).

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 24 mar 2011, 10:51

op=op schreef:
Sjoerd Job schreef: Merk tevens op dat de notatie
$\sum_{k=-\infty}^\infty a_k$
ook om een soortgelijke definitie vraagt. Meestal wordt
$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n a_k$
gekozen.
Volgens deze definitie is
$\sum_{k=-\infty}^\infty k^3 = 0$ ,
hetgeen tegen mijn haren instrijkt.

Meer naar mijn smaak is de definitie
$\sum_{k=-\infty}^\infty a_k =_D \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n a_k + \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_{-k}$
mits de limieten in het rechter lid bestaan.

(Voor ingewijden: In topologische ruimten kennen we een generalisatie van het begrip rij, n.l. het net. Netten kunnen convergeren en divergeren).

Vind ik wel een betere definitie. Uiteraard is het zo dat als de beide limieten bestaan, de waarde gelijk is aan de def die ik gaf..

Bericht door **David** » 24 mar 2011, 15:31

Sjoerd Job schreef:Merk tevens op dat de notatie
$\sum_{k=-\infty}^\infty a_k$
ook om een soortgelijke definitie vraagt. Meestal wordt
$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n a_k$
gekozen.

Die zou ik niet te snel gebruiken.

"oneindig" is niet eenduidig. Je kan dus "langer" doorrekenen aan de linker dan wel aan de rechterkant.

Voor $\sum_{k=-\infty} ^{\infty}k^3$ hoeft denk ik ook niet te gelden dat het 0 is.

Wel als we definieren:
$\sum_{k=-\infty} ^{\infty}k^3:=\lim_{n \to infty}\sum_{-n}^nk^ 3= \\ 0^3+\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \[(-k)^3+k^3\]=\\0+\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n 0=0$

Ik zou voor
$m,n \in \mathbb{N}$ $\lim_{m,n\to\infty} \sum_{k=-m}^n a_k$ gaan.

Bericht door **op=op** » 24 mar 2011, 15:52

David schreef: Ik zou voor
$m,n \in \mathbb{N}$ $\lim_{m,n\to\infty} \sum_{k=-m}^n a_k$ gaan.

Hoe is die $\lim_{m,n\to\infty}$ dan gedefinieerd?

Bericht door **David** » 24 mar 2011, 16:04

$\lim_{m,n \to \infty}\sum_{k=-m}^n a_k := \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n a_k + \lim_{m\to\infty} \sum_{k=1}^{m} a_{-k}$

Dan laat je onbepaald of m en n gelijk zijn was mijn idee, of ligt dat vast door $\lim_{m,n \to \infty}$ ?
Volgens mij zegt $\infty$ niets over of 2 variabelen gelijk zijn.

Wiskundeforum

notatie

notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie

Re: notatie