Uitbreiden getalsystemen

Bericht door **wnvl** » 08 jan 2012, 15:58

Naar aanleiding van de discussie over delen door nul...

In de geschiedenis van de wiskunde is het getalsysteem uitgebreid om nieuwe problemen op te lossen.

$\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}\to \mathbb{R} \to \mathbb{C} \to \mathbb{C}^{*}$

Door over te gaan van het ene systeem naar het andere kunnen telkens nieuwe problemen opgelost worden.
Vooral de stap van de reële naar de complexe getallen heeft veel inzicht bijgebracht. Ik denk bvb. aan het oplossen van reële oneigenlijke integralen via complexe contourintegratie of het voorstellen van oplossingen van de 2D Laplace vergelijking door holomorfe functies.

Door de reële getallen uit te breide naar de complexe getallen, ga je eigenlijk van iets eendimensionaals naar iets 2 dimensionaals. Je zou dus veronderstellen dat je dit verder zou kunnen uitbreiden naar 3, 4 en meer dimensies om nog dieper inzicht te krijgen in de wiskunde.

Wat ik me nu afvraag is waarom alles in grote lijnen gestopt is bij de complexe getallen en er geen verdere uitbreidingen zijn die de wiskunde verder brengen naar een hoger niveau, of heeft er iemand ideeën voor verdere uitbreidingen?

p.s. Ik weet wel dat er een uitbreiding is naar quaternionen, die in de theoretische fysica wel enige toepassing hebben, maar echt heel veel brengt dat niet bij.

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 08 jan 2012, 20:13

wnvl schreef:Naar aanleiding van de discussie over delen door nul...

In de geschiedenis van de wiskunde is het getalsysteem uitgebreid om nieuwe problemen op te lossen.

$\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}\to \mathbb{R} \to \mathbb{C} \to \mathbb{C}^{*}$

Door over te gaan van het ene systeem naar het andere kunnen telkens nieuwe problemen opgelost worden.
Vooral de stap van de reële naar de complexe getallen heeft veel inzicht bijgebracht. Ik denk bvb. aan het oplossen van reële oneigenlijke integralen via complexe contourintegratie of het voorstellen van oplossingen van de 2D Laplace vergelijking door holomorfe functies.

Door de reële getallen uit te breide naar de complexe getallen, ga je eigenlijk van iets eendimensionaals naar iets 2 dimensionaals. Je zou dus veronderstellen dat je dit verder zou kunnen uitbreiden naar 3, 4 en meer dimensies om nog dieper inzicht te krijgen in de wiskunde.

Wat ik me nu afvraag is waarom alles in grote lijnen gestopt is bij de complexe getallen en er geen verdere uitbreidingen zijn die de wiskunde verder brengen naar een hoger niveau, of heeft er iemand ideeën voor verdere uitbreidingen?

p.s. Ik weet wel dat er een uitbreiding is naar quaternionen, die in de theoretische fysica wel enige toepassing hebben, maar echt heel veel brengt dat niet bij.

Hoe je uitbreid is altijd de vraag! Welke eisen stel je aan je nieuwe getalsysteem!

Wil je

Commutativiteit? $ab = ba$ , en $a+b = b+a$
Associativiteit? $a(bc) = (ab)c$ , en $a+(b+c) = (a+b)+c$
Distributiviteit? $a(b+c) = ab + ac$ en $(a+b)c = ac + bc$
Moet vermenigvuldiging altijd mogelijk zijn?
Moet optellen altijd mogelijk zijn?
Moet aftrekken altijd mogelijk zijn?
Moet delen altijd mogelijk zijn?
Wil je een ordening op je systeem? Zo ja, welke eisen stel je er aan? $\mathbb{C}$ heeft niet een mooie ordening.

Allemaal moeilijke vragen, maar je bent bijvoorbeeld modulo rekenen als getalsysteem compleet vergeten te noemen!

Het schijnt dat er geen 3, 5, 6 en 7-dimensionale uitbreidingen van $\mathbb{R}$ zijn waar een vermenigvuldiging op gedefinieerd kan worden... (of zo iets, ben de preciese uitdrukking vergeten).

Bericht door **wnvl** » 09 jan 2012, 00:31

Je kan inderdaad nog heel wat tussenliggende systemen bedenken zoals: modulo rekenen, het systeem van de even gehele getallengetallen, ....

Probleem is inderdaad dat als je de vermenigvuldiging uitbreidt naar meer dan twee dimensies, je heel veel eigenschappen van de klassieke vermenigvuldiging in C of R verliest zoals commutativiteit / delen. De wiskunde die hieruit volgt (quaternionen, Grassman / Clifford algebras (dat zijn de 3 dingen waar ik iets of wat van op de hoogte ben, maar misschien is er nog meer)) is in elk geval niet van dezelfde schoonheid als de wiskunde die ontstaan is bij het uitbreiden van de reële getallen naar de complexe getallen. Ik weet wel dat er toepassingen hiervan zijn om de spin van elektronen te beschrijven in quantumfysica (spinors).

Tot nu toe is het waarom van het ontbreken van een mooie uitbreiding van C naar 3 of meer dimensies mij altijd een doorn in het oog geweest. Ik ben nog altijd op zoek naar een bevredigende verklaring. Moet er mij misschien nog eens verder in verdiepen, en anders moeten we het maar aanvaarden.

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 09 jan 2012, 10:48

wnvl schreef:Tot nu toe is het waarom van het ontbreken van een mooie uitbreiding van C naar 3 of meer dimensies mij altijd een doorn in het oog geweest. Ik ben nog altijd op zoek naar een bevredigende verklaring. Moet er mij misschien nog eens verder in verdiepen, en anders moeten we het maar aanvaarden.

Heb heel even zitten googlen, en het zou te maken hebben met Frobenius' stelling.

Je kan natuurlijk ook best oneindig-dimensionale getalsystemen gaan beschouwen, maar wat daar uit komt weet ik ook niet.

Bericht door **op=op** » 09 jan 2012, 13:21

De uitbreidingen
$\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}\to \mathbb{R} \to \mathbb{C}$
gaven telkens nieuwe oplossingen voor vergelijkingen.
Zo gaf de uitbreiding $\mathbb{N} \to \mathbb{Z}$
een oplossing voor de vergelijking $x+5=3$ dat in $\mathbb{N}$ niet oplosbaar was,
en de uitbreiding $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$
een oplossing voor de vergelijking $2x=-5$
en uiteindelijk
$\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ een oplossing voor de vergelijking
$x^2=-1$ .
Verder kunnen we niet. Nu zijn alle vergelijkingen op te lossen (mits tegenstrijdige zoals x=x+1),
en dat komt omdat $\mathbb{C}$ algebraïsch afgesloten is.
Elke veelterm heeft evenveel oplossingen als de graad van de veelterm.
We kunnen dus niet meer oplossingen vinden.

Als we bijvoorbeeld quaternionen bekijken (we zijn dan een stap te ver gegaan), dan heeft de vergelijking $x^2=-1$ ineens veel meer dan 2 oplossingen.
We hebben dan een lelijke eigenschap binnengehaald, want de ontbinding in factoren is nu niet meer eenduidig.

Koppelaar.Henk · Bericht door **Koppelaar.Henk** » 25 nov 2012, 22:24

Quaternionen worden toegepast in avionica,
ook t.b.v. flght simulators, in robotica en zelfs
in geofysische (spionage) opnamen van 'remote
objects' (bijv. m.b.v. een foto bepalen van volumes
van objecten).

Surreal Numbers (van J. H. Conway), zo genoemd
door D.E. Knuth in zijn gelijknamige liefdesnovelle,
Worden tegenwoordig toegepast in AI-automatisering
van het GO-spel.

In patroonherkenning worden ternary numbers
gebruikt.

Bericht door **wnvl** » 27 nov 2012, 01:00

Heb het eens bekeken, biedt inderdaad voordelen om te werken met quaternionen ipv matrices / eulerhoeken:

- sneller: http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion ... l_rotation
- geen gimbal lock: http://en.wikipedia.org/wiki/Gimbal_lock

Wiskundeforum

Uitbreiden getalsystemen

Uitbreiden getalsystemen

Re: Uitbreiden getalsystemen

Re: Uitbreiden getalsystemen

Re: Uitbreiden getalsystemen

Re: Uitbreiden getalsystemen

Re: Uitbreiden getalsystemen

Re: Uitbreiden getalsystemen