Wiskundeforum

Ik kwam onlangs het volgende vraagstuk tegen:

Een boer en zijn hond zijn op weg naar huis. Ze passeren een wegwijzer waarop staat dat ze nog 20 km te gaan hebben. De boer loopt met een snelheid van 5 km per uur. Zijn hond, die de weg goed kent, loopt alvast met een snelheid van 10 km per uur naar huis. Daar aangekomen treft hij een gesloten deur, keert om, en rent weer naar zijn baas terug. Als hij weer bij de boer is, krijgt hij een aai over z'n kop, waarna hij weer enthousiast naar huis gaat rennen. Dit herhaalt zich: voortdurend blijft de hond met een snelheid van 10 km per uur heen en weer rennen tussen voordeur en baas, totdat de boer bij de deur is aangekomen.

Welke afstand heeft de hond al rennende in totaal afgelegd?

A) 25 km     B) 32 km     C) 40 km     D) 53 km     E) 61,5 km

Men had er zich bij de oplossing gemakkelijk van af gemaakt:
De boer loopt 20km aan 5km/u en loopt dus 4 uur lang.
De hond loopt 4 uur lang aan 10km/u. 40km dus, Antwoord C.

Maar na even na te denken lijkt het onmogelijk dat de boer en de hond tegelijk thuiskomen. De hond loopt nooit achter de boer, maar is toch sneller. Dus het moment vlak voor de aankomst moet de hond achter de boer hebben gelopen, wat niet kan.
Een vreemde tegenstrijdigheid...

Misschien helpt het om de afstand te berekenen vanuit het standpunt van de hond.

Wanneer de man en de hond samen komen voor de n'de keer moet de man nog $x_{n}$ km afleggen.

$\frac{x_{n}-x_{n+1}}{v}=\frac{x_{n}+x_{n+1}}{2v}$
$2x_{n}-2x_{n+1}=x_{n}+x_{n+1}$
$x_{n+1}=\frac{x_{n}}{3}$

De totale afstand die de hond aflegt tussen x_{n+1} en x_{n} is

$x_{n}+x_{n+1}=x_{n}\cdot\frac{4}{3}$

De totale afstand die de hond aflegt is
$20\cdot\left ( \frac{4}{3}+\frac{4}{3^{2}}+\frac{4}{3^{3}}+... \right )=20\cdot \left ( \frac{1}{1-\frac{1}{3}}-1 \right )\cdot 4=40$

Merk op dat ik dat de snelheid van de man geen belang heeft. Enigste wat belang heeft is dat de hond dubbel zo snel is als de man.

Ok. Leuke oplossing trouwens.

Wiskundig is het vraagstuk dus opgelost, maar fysisch is het nog steeds onmogelijk.
Als de boer thuiskomt, dan kan de hond niet tegelijk thuiskomen, want dan zou die voor even achter de boer aan lopen.

Doet wat denken aan de paradox van Zeno over Achilles en de schildpad.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s_p ... _schildpad

Nou, de hond krijgt nog een aai over zijn bol

barto schreef:Maar na even na te denken lijkt het onmogelijk dat de boer en de hond tegelijk thuiskomen.

niet zo veel nadenken

barto schreef:Maar na even na te denken lijkt het onmogelijk dat de boer en de hond tegelijk thuiskomen.

Onzin. De hond en de boer kunnen op hetzelfde moment over de deurdrempel binnenstappen.

op=op schreef:
barto schreef:Maar na even na te denken lijkt het onmogelijk dat de boer en de hond tegelijk thuiskomen.
Onzin. De hond en de boer kunnen op hetzelfde moment over de deurdrempel binnenstappen.

Juist niet. Als ze tegelijk binnenkomen, dan komen ze tegelijk uit dezelfde richting. Maar de hond loopt sneller, dus moet de hond achter de boer hebben gelopen, juist voor ze binnenkwamen.

Wiskundeforum

Fictief vraagstuk?

Fictief vraagstuk?

Re: Fictief vraagstuk?

Re: Fictief vraagstuk?

Re: Fictief vraagstuk?

Re: Fictief vraagstuk?

Re: Fictief vraagstuk?

Re: Fictief vraagstuk?

Re: Fictief vraagstuk?