Op naar volgende dimensies via analogie?

Dit is de plek voor onzin, off-topic gebrabbel en idiote moppen.
Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 656
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door barto » 31 jan 2012, 20:00

In de realiteit zijn er maar drie dimensies, dat is wel duidelijk. En dan bedoel ik met 'dimensie' iets als 'een ruimtelijke oriëntatie'. Maar sommige eigenschappen van de eerste dimensies vormen bepaalde patronen, die misschien kunnen helpen om volgende dimensies te begrijpen.

Analogie in de afstanden:

De nulde dimensie bestaat uit een punt. De afstand tussen twee punten in de tot nu toe bestaande ruimte is 0, (of dus )

De eerste dimensie bestaat uit een rechte, genaamd x. De afstand tussen twee punten tot nu toe is .

De tweede dimensie bestaat uit een vlak, gevormd door rechten x en y. De afstand tussen twee punten is .

De derde dimensie bestaat uit een ruimte, gevormd door rechten x, y en z. De afstand tussen twee punten is .

Via analogie zou de afstand tussen twee punten in een volgende dimensie bijvoorbeeld kunnen zijn...

Van punt tot .?.

Onlangs kwam een vriend van me op het idee om zoveel mogelijk punten op gelijke afstand van elkaar te plaatsen, en de afstand mag niet 0 zijn.
In de nulde dimensie is dat maar mogelijk voor 1 punt.
In de eerste voor 2 punten, die een lijnstuk vormen.
In de tweede voor 3 punten, die een gelijkzijdige driehoek vormen.
In de derde voor 4 punten, gerangschikt in een tetraeder.
Dit doet denken dat in een vierde dimensie het mogelijk zou zijn om 5 punten op gelijke afstand te plaatsen.

Daartoe zetten we enkele eigenschappen van de bekomen objecten in een tabel:

De laatste rij stelden we op via analogie met de driehoek van Pascal, want die zagen we er al snel in verschijnen.
De Formule van Euler zegt: punten-lijnstukken+zijvlakken=2, voor elk ruimtelichaam. Voor de andere soorten objecten zie je dat dat niet van toepassing is. Wel vonden we dat de alternerende som van de eigenschappen steeds 1 is:





Hetgeen gemakkelijk kan bewezen worden via de driehoek van pascal.

Inhoud van een kubus
Een minder bijzondere eigenschap, maar toch het vermelden waard:
De inhoud van een kubus in functie van zijn zijde z is
In functie van een diagonaal z in een zijvlak: , ga dat maar na.
En je raadt het nooit, in functie van zijn ruimtediagonaal:
En in functie van .?. : :)


Ik dacht ook al om de vierde dimensie voor te stellen als de gekende 3D-ruimte, maar waarin elk punt bestaat uit een rechte, genaamd u, en dus elk 4D-punt bepaald is door x, y, z en u. Moeilijk voor te stellen, maar kan misschien een verklaring geven voor

Waarschijnlijk hebben jullie wel aanvullingen (maar waar ik het liever niet over wil hebben is de vierde dimensie van Tijd, daar heb ik al wat over gelezen, maar die ziet er helemaal niet wiskundig uit :wink: en is zo abstract als het maar kan)
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1148
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door Sjoerd Job » 31 jan 2012, 21:18

barto schreef:...
Je hebt op veel punten gelijk! In de wiskunde is er al iets als een 4-dimensionale ruimte (in het algemeen: een n-dimensionale ruimte), met als symbool (of . Een punt is te schrijven als , met elk van de een getal. Bijvoorbeel .

Op deze `ruimte' is een afstand gedefinieerd, precies zoals jij verwacht dat deze is! De afstand tussen een punt en een punt is de `lengte' van . De lengte van een punt is precies . (Het punt heeft lengte ).

De rij `punt, lijn, driehoek, viervlak, ...' is de rij van n-dimensionale `simplexes'.

Je vermoeden van het aantal deelsimplexes is correct: inderdaad de driehoek van pascal!
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 656
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door barto » 01 feb 2012, 13:18

Ook nog wel een leuke:

determinanten als multidimensionele maten
De afstand tussen 2 punten in de 1D rechte is de absolute waarde van de determinant

De oppervlakte van een driehoek in het 2D vlak is

En ja, het volume van een viervlak in de 3D ruimte is
(eigenlijk ben ik daar niet zeker van maar er staat weinig over op het internet :? )

En ga zo maar door: Leuk zeg, een maat met eenheid

In de nulde dimensie zou de .?. van een punt zijn.


Wat de voorstelling van de volgende dimensies betreft, dacht ik zo:

Van de nulde dimensie gaan we over naar de eerste, door van elk punt (er is er maar 1) een rechte te maken en op die rechte coördinaten te plaatsen.
Van de eerste dimensie ga je over naar de tweede, door weer van elk punt een rechte te maken, en zo krijg je een vlak. (je zou ook de rechten niet evenwijdig kunnen plaatsen zodat je iets anders krijgt, maar dat is ook niet logisch.)
En zo ga je van de tweede over naar de derde, je krijgt een ruimte.
En op naar de vierde, een ruimte waarin elk punt bestaat uit een rechte.
En de vijfde, een ruimte waarin elk punt bestaat uit een vlak.
En in de zesde bestaat elk punt uit een ruimte.
In de zevende bestaat elk punt uit de nieuwe ruimtes van de zesde weer uit een rechte.
En ga zo maar door....
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door toonijn » 01 feb 2012, 15:18

Een klein tabelletje over lengte (L), oppervlakte(A), volume(V) en dan ook het volgende...
Stel dan een |ribbe/zijde/lijnstuk| = 1

Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1493
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door wnvl » 01 feb 2012, 15:26

Kleine quizvraag. Wat is het volume van een bol uitgebreid naar 4 dimensies?

cirkelomtrek:

cirleloppervlak:

boloppervlak:

bolvolume:

4D-bol: ???
Laatst gewijzigd door wnvl op 01 feb 2012, 17:22, 2 keer totaal gewijzigd.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1493
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door wnvl » 01 feb 2012, 15:42

barto schreef: En ja, het volume van een viervlak in de 3D ruimte is
(eigenlijk ben ik daar niet zeker van maar er staat weinig over op het internet :? )
Volgens mij moet het zijn

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 656
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door barto » 01 feb 2012, 15:47

barto schreef:De oppervlakte van een driehoek in het 2D vlak is
Hier was ik ook fout:

Het is:

En dus waarschijnlijk ook:


En wat die bol betreft zou je misschien gewoon kunnen integreren:
Laatst gewijzigd door barto op 01 feb 2012, 15:49, 1 keer totaal gewijzigd.
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door toonijn » 01 feb 2012, 15:49

De cirkel in meerdere dimensies met



Uit het feit dat een bol eigenlijk geen omtrek heeft vermoede ik dat onze 4d-figuur noch omtrek noch oppervlakte zou hebben.
Laatst gewijzigd door toonijn op 01 feb 2012, 20:57, 1 keer totaal gewijzigd.
Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 656
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door barto » 01 feb 2012, 15:53

Dit is hoogst waarschijnlijk de vergelijking voor een 4D-bol:


Eventueel verschuivingen om het middelpunt te verplaatsen over rechte u of in de bekende ruimte.
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1493
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door wnvl » 01 feb 2012, 16:00

Wat de bol betreft zit het subtieler in mekaar.
Onderstaande link zal jullie waarschijnlijk interesseren, vooral dan de sectie "Volume and surface area".

http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door toonijn » 01 feb 2012, 19:35

Via een concreet voorbeeld konden barto en ik een 4D tetraëder in coördinaten omzetten.
Door een gewone tetraëder te nemen, met het middelste punt E. En E moest even ver liggen van A,B,C en D.

Nu kunnen we onze tabel verder aanvullen met de afmetingen van de nieuwe figuur:
Laatst gewijzigd door toonijn op 01 feb 2012, 21:52, 1 keer totaal gewijzigd.
Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1493
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door wnvl » 01 feb 2012, 20:02

toonijn schreef:Via een concreet voorbeeld konden barto en ik een 4D tetraëder in coördinaten omzetten.
Door een gewone tetraëder te nemen, met het middelste punt E. En E moest even ver liggen van A,B,C en D:




Begrijp niet de keuze voor deze 4D tetraëder als jullie standaard. Waarom niet






toonijn
Vast lid
Vast lid
Berichten: 51
Lid geworden op: 01 feb 2012, 14:30
Contacteer:

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door toonijn » 01 feb 2012, 20:09

wnvl schreef:Begrijp niet de keuze voor deze 4D tetraëder als jullie standaard. Waarom niet








Dus deze figuur volgt de analogie niet van "alle punten liggen op gelijke afstand van elkaar".
Je kunt een probleem niet oplossen met de denkwijze die het heeft veroorzaakt. ~ A. Einstein

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 656
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door barto » 01 feb 2012, 21:43

Onze tetraëder was nog niet helemaal correct.
coördinaten zijn:











Dit geeft 4D-eenheid
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

Gebruikersavatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 656
Lid geworden op: 07 jun 2011, 16:02

Re: Op naar volgende dimensies via analogie?

Bericht door barto » 03 feb 2012, 17:44

Het kan ook interessant zijn om de dimensies uit te breiden naar onder.
Dus van naar .
Maar ik kan nog niet direct een betekenis geven aan de -1de dimensie
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.

Plaats reactie