Wiskundeforum

In de realiteit zijn er maar drie dimensies, dat is wel duidelijk. En dan bedoel ik met 'dimensie' iets als 'een ruimtelijke oriëntatie'. Maar sommige eigenschappen van de eerste dimensies vormen bepaalde patronen, die misschien kunnen helpen om volgende dimensies te begrijpen.

Analogie in de afstanden:

De nulde dimensie bestaat uit een punt. De afstand tussen twee punten in de tot nu toe bestaande ruimte is 0, (of dus )

De eerste dimensie bestaat uit een rechte, genaamd x. De afstand tussen twee punten tot nu toe is .

De tweede dimensie bestaat uit een vlak, gevormd door rechten x en y. De afstand tussen twee punten is .

De derde dimensie bestaat uit een ruimte, gevormd door rechten x, y en z. De afstand tussen twee punten is .

Via analogie zou de afstand tussen twee punten in een volgende dimensie bijvoorbeeld kunnen zijn...

Van punt tot .?.

Onlangs kwam een vriend van me op het idee om zoveel mogelijk punten op gelijke afstand van elkaar te plaatsen, en de afstand mag niet 0 zijn.
In de nulde dimensie is dat maar mogelijk voor 1 punt.
In de eerste voor 2 punten, die een lijnstuk vormen.
In de tweede voor 3 punten, die een gelijkzijdige driehoek vormen.
In de derde voor 4 punten, gerangschikt in een tetraeder.
Dit doet denken dat in een vierde dimensie het mogelijk zou zijn om 5 punten op gelijke afstand te plaatsen.

Daartoe zetten we enkele eigenschappen van de bekomen objecten in een tabel:

De laatste rij stelden we op via analogie met de driehoek van Pascal, want die zagen we er al snel in verschijnen.
De Formule van Euler zegt: punten-lijnstukken+zijvlakken=2, voor elk ruimtelichaam. Voor de andere soorten objecten zie je dat dat niet van toepassing is. Wel vonden we dat de alternerende som van de eigenschappen steeds 1 is:





Hetgeen gemakkelijk kan bewezen worden via de driehoek van pascal.

Inhoud van een kubus
Een minder bijzondere eigenschap, maar toch het vermelden waard:
De inhoud van een kubus in functie van zijn zijde z is
In functie van een diagonaal z in een zijvlak: , ga dat maar na.
En je raadt het nooit, in functie van zijn ruimtediagonaal:
En in functie van .?. :


Ik dacht ook al om de vierde dimensie voor te stellen als de gekende 3D-ruimte, maar waarin elk punt bestaat uit een rechte, genaamd u, en dus elk 4D-punt bepaald is door x, y, z en u. Moeilijk voor te stellen, maar kan misschien een verklaring geven voor

Waarschijnlijk hebben jullie wel aanvullingen (maar waar ik het liever niet over wil hebben is de vierde dimensie van Tijd, daar heb ik al wat over gelezen, maar die ziet er helemaal niet wiskundig uit en is zo abstract als het maar kan)

barto schreef:...

Je hebt op veel punten gelijk! In de wiskunde is er al iets als een 4-dimensionale ruimte (in het algemeen: een n-dimensionale ruimte), met als symbool (of . Een punt is te schrijven als , met elk van de een getal. Bijvoorbeel .

Op deze `ruimte' is een afstand gedefinieerd, precies zoals jij verwacht dat deze is! De afstand tussen een punt en een punt is de `lengte' van . De lengte van een punt is precies . (Het punt heeft lengte ).

De rij `punt, lijn, driehoek, viervlak, ...' is de rij van n-dimensionale `simplexes'.

Je vermoeden van het aantal deelsimplexes is correct: inderdaad de driehoek van pascal!

Ook nog wel een leuke:

determinanten als multidimensionele maten
De afstand tussen 2 punten in de 1D rechte is de absolute waarde van de determinant

De oppervlakte van een driehoek in het 2D vlak is

En ja, het volume van een viervlak in de 3D ruimte is
(eigenlijk ben ik daar niet zeker van maar er staat weinig over op het internet )

En ga zo maar door: Leuk zeg, een maat met eenheid

In de nulde dimensie zou de .?. van een punt zijn.


Wat de voorstelling van de volgende dimensies betreft, dacht ik zo:

Van de nulde dimensie gaan we over naar de eerste, door van elk punt (er is er maar 1) een rechte te maken en op die rechte coördinaten te plaatsen.
Van de eerste dimensie ga je over naar de tweede, door weer van elk punt een rechte te maken, en zo krijg je een vlak. (je zou ook de rechten niet evenwijdig kunnen plaatsen zodat je iets anders krijgt, maar dat is ook niet logisch.)
En zo ga je van de tweede over naar de derde, je krijgt een ruimte.
En op naar de vierde, een ruimte waarin elk punt bestaat uit een rechte.
En de vijfde, een ruimte waarin elk punt bestaat uit een vlak.
En in de zesde bestaat elk punt uit een ruimte.
In de zevende bestaat elk punt uit de nieuwe ruimtes van de zesde weer uit een rechte.
En ga zo maar door....

Een klein tabelletje over lengte (L), oppervlakte(A), volume(V) en dan ook het volgende...
Stel dan een |ribbe/zijde/lijnstuk| = 1

Kleine quizvraag. Wat is het volume van een bol uitgebreid naar 4 dimensies?

cirkelomtrek:

cirleloppervlak:

boloppervlak:

bolvolume:

4D-bol: ???

barto schreef: En ja, het volume van een viervlak in de 3D ruimte is
(eigenlijk ben ik daar niet zeker van maar er staat weinig over op het internet )

Volgens mij moet het zijn

barto schreef:De oppervlakte van een driehoek in het 2D vlak is

Hier was ik ook fout:

Het is:

En dus waarschijnlijk ook:


En wat die bol betreft zou je misschien gewoon kunnen integreren:

De cirkel in meerdere dimensies met



Uit het feit dat een bol eigenlijk geen omtrek heeft vermoede ik dat onze 4d-figuur noch omtrek noch oppervlakte zou hebben.

Dit is hoogst waarschijnlijk de vergelijking voor een 4D-bol:


Eventueel verschuivingen om het middelpunt te verplaatsen over rechte u of in de bekende ruimte.

Wat de bol betreft zit het subtieler in mekaar.
Onderstaande link zal jullie waarschijnlijk interesseren, vooral dan de sectie "Volume and surface area".

http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

Via een concreet voorbeeld konden barto en ik een 4D tetraëder in coördinaten omzetten.
Door een gewone tetraëder te nemen, met het middelste punt E. En E moest even ver liggen van A,B,C en D.

Nu kunnen we onze tabel verder aanvullen met de afmetingen van de nieuwe figuur:

toonijn schreef:Via een concreet voorbeeld konden barto en ik een 4D tetraëder in coördinaten omzetten.
Door een gewone tetraëder te nemen, met het middelste punt E. En E moest even ver liggen van A,B,C en D:

Begrijp niet de keuze voor deze 4D tetraëder als jullie standaard. Waarom niet

wnvl schreef:Begrijp niet de keuze voor deze 4D tetraëder als jullie standaard. Waarom niet

Dus deze figuur volgt de analogie niet van "alle punten liggen op gelijke afstand van elkaar".

Onze tetraëder was nog niet helemaal correct.
coördinaten zijn:











Dit geeft 4D-eenheid

Het kan ook interessant zijn om de dimensies uit te breiden naar onder.
Dus van naar .
Maar ik kan nog niet direct een betekenis geven aan de -1de dimensie