Pagina 1 van 1

getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode

Geplaatst: 04 mei 2012, 16:33
door wnvl
Ik probeer de somfunktie van de delers van de kwadraten van n te herschrijven met de Dirichlet hyperboolmethode met bewijs van alle tussenstappen.

We starten met



met

: het aantal delers
: de Möbius funktie

Eerste stap is dit te bewijzen.


p.s. Ik ken min of meer de richting waarin het verder moet, maar ben nog op zoek naar grondig inzicht in de tussenstappen. Aarzel niet om tussen te komen met bewijzen of bedenkingen.

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Geplaatst: 04 mei 2012, 17:12
door op=op
wnvl schreef: Eerste stap is dit te bewijzen.


Als ,

dan is

als kwadraatvrij is, d.w.z. een product van verschillende priemgetallen, en anders 0.
is dus



waarbij alle mogelijke combinaties van nullen en enen doorlopen.

Probeer volledige inductie naar k.

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Geplaatst: 04 mei 2012, 17:36
door wnvl
Als de formule geldt voor k, dan krijgen we voor k+1.




Hieruit volgt de formule.

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Geplaatst: 04 mei 2012, 17:44
door wnvl
Volgende wat we nodig hebben is de somfunctie voor



Ik veronderstel voor de eenvoud dat N een kwadraat is.


Twee voorbeelden









Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Geplaatst: 04 mei 2012, 18:21
door wnvl
Misschien interessant voor het bewijs



http://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_integer

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Geplaatst: 04 mei 2012, 18:47
door op=op
wnvl schreef:
.
Dit is het aantal getallen <=N dat kwadraatvrij is.

Dat tellen we als volgt.
Begin met alles
N.
Daaruit schrappen we alle getallen die deelbaar zijn door p^2 (p een priemgetal).
Dat doen we voor alle priemgetallen.
We houden over:


Daarbij hebben we iets te veel afgetrokken van N, want sommige getallen zijn door zowel p^2 als q^2 deelbaar (p en q zijn 2 gekozen priemgetallen).

Die dubbelen moeten we er weer bij doen, dus hebben we



Nu hebben we er weer teveel bijgeteld, namelijk de getallen die door p^2 en q^2 en r^2 deelbaar zijn zijn 3 maal van N afgetrokken en vervolgens 3 maal bijgeteld, dus moeten ze er nog een keer vanaf.
Resultaat



Zo blijven we doorgaan en krijgen we de formule in het rechter lid.

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Geplaatst: 04 mei 2012, 19:26
door wnvl
Ja, dat is het.

Volgende wat we nodig hebben is de somfunctie voor



Deze zie ik wel in zonder formeel bewijs.

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode

Geplaatst: 04 mei 2012, 19:46
door wnvl


Stel F en G de bovenstaande somfuncties van respectievelijk en





Dan zou moeten gelden volgens de Dirichlet hyperbool methode


Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode

Geplaatst: 04 mei 2012, 20:19
door wnvl






Opgelost met de nodige hulp.