getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode

Dit is de plek voor onzin, off-topic gebrabbel en idiote moppen.

getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode

Berichtdoor wnvl » 04 Mei 2012, 16:33

Ik probeer de somfunktie van de delers van de kwadraten van n te herschrijven met de Dirichlet hyperboolmethode met bewijs van alle tussenstappen.

We starten met



met

: het aantal delers
: de Möbius funktie

Eerste stap is dit te bewijzen.


p.s. Ik ken min of meer de richting waarin het verder moet, maar ben nog op zoek naar grondig inzicht in de tussenstappen. Aarzel niet om tussen te komen met bewijzen of bedenkingen.
Laatst gewijzigd door wnvl op 04 Mei 2012, 20:11, in totaal 1 keer gewijzigd.
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Berichtdoor op=op » 04 Mei 2012, 17:12

wnvl schreef:Eerste stap is dit te bewijzen.




Als ,

dan is

als kwadraatvrij is, d.w.z. een product van verschillende priemgetallen, en anders 0.
is dus



waarbij alle mogelijke combinaties van nullen en enen doorlopen.

Probeer volledige inductie naar k.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Berichtdoor wnvl » 04 Mei 2012, 17:36

Als de formule geldt voor k, dan krijgen we voor k+1.




Hieruit volgt de formule.
Laatst gewijzigd door wnvl op 04 Mei 2012, 18:10, in totaal 1 keer gewijzigd.
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Berichtdoor wnvl » 04 Mei 2012, 17:44

Volgende wat we nodig hebben is de somfunctie voor



Ik veronderstel voor de eenvoud dat N een kwadraat is.


Twee voorbeelden








Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Berichtdoor wnvl » 04 Mei 2012, 18:21

Misschien interessant voor het bewijs



http://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_integer
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Berichtdoor op=op » 04 Mei 2012, 18:47

wnvl schreef:


.
Dit is het aantal getallen <=N dat kwadraatvrij is.

Dat tellen we als volgt.
Begin met alles
N.
Daaruit schrappen we alle getallen die deelbaar zijn door p^2 (p een priemgetal).
Dat doen we voor alle priemgetallen.
We houden over:


Daarbij hebben we iets te veel afgetrokken van N, want sommige getallen zijn door zowel p^2 als q^2 deelbaar (p en q zijn 2 gekozen priemgetallen).

Die dubbelen moeten we er weer bij doen, dus hebben we



Nu hebben we er weer teveel bijgeteld, namelijk de getallen die door p^2 en q^2 en r^2 deelbaar zijn zijn 3 maal van N afgetrokken en vervolgens 3 maal bijgeteld, dus moeten ze er nog een keer vanaf.
Resultaat



Zo blijven we doorgaan en krijgen we de formule in het rechter lid.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolformule

Berichtdoor wnvl » 04 Mei 2012, 19:26

Ja, dat is het.

Volgende wat we nodig hebben is de somfunctie voor



Deze zie ik wel in zonder formeel bewijs.
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode

Berichtdoor wnvl » 04 Mei 2012, 19:46



Stel F en G de bovenstaande somfuncties van respectievelijk en





Dan zou moeten gelden volgens de Dirichlet hyperbool methode

Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: getaltheorie: Dirichlet reeksen - hyperboolmethode

Berichtdoor wnvl » 04 Mei 2012, 20:19







Opgelost met de nodige hulp.
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30


Terug naar De Wiskundelounge

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 4 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 4 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 4 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 4 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.