1=0 ?!?

Dit is de plek voor onzin, off-topic gebrabbel en idiote moppen.
Plaats reactie
Math=Mind
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 14 okt 2012, 15:46

1=0 ?!?

Bericht door Math=Mind » 14 okt 2012, 16:27

Hoi!

Ik ben nieuw op dit forum en heb me aangemeld omdat ik de volgende vraag had:

Bij de zgn. Identiteit van Euler kwam ik er via enige bewerkingen achter dat 1 (en via verdere bewerking zelfs elk reël getal) gelijk aan 0 is. Waarschijnlijk heb ik de fout gemaakt door enige operaties die voor de reële getallen wel mogen gedaan worden, te doen voor complexe getallen. Kan iemand mij dus misschien vertellen wat er hier misgegaan is???



(de voorgaande vergelijking is dus gekwadrateerd)
(Resultaat van de natuurlijke logaritme op beide zijden toepassen, volgens mij gaat het hier dus fout)



Er blijkt dus dat i gelijk aan 0 is, maar i is toch de wortel van -1??? Dit betekent dus dat:

(beide kanten zijn gekwadrateerd)
(beide kanten zijn nogmaals gekwadrateerd)


Ik was dit gisteravond tot ontdekking gekomen door wat te "spelen" met deze vergelijking en vond dit zo raar dat ik er zelf geen oplossing voor kon vinden.
Misschien dat jullie een logische verklaring kunnen geven?

Met vriendelijke groet,
Bas

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1814
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: 1=0 ?!?

Bericht door arno » 14 okt 2012, 17:24

Voor de natuurlijke logaitme van een complex getal geldt: .
Voor geldt dus dat ln z = 2πi. Omdat je 1 als een complex getal schrijft krijg je bij de natuurlijke logaritme ook een complex getal als uitkomst. Omdat i geen 0 kan zijn (er geldt immers per definitie i² = -1) is je redenatie dus onjuist. Er geldt weliswaar dat ln 1 = 0 als je 1 als een gewoon reëel getal behandelt, maar door 1 te schrijven als is 1 geen reëel getal meer en kun je de natuurlijke logaritme ook niet meer als de natuurlijke logaritme van een (positief) reëel getal behandelen.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Math=Mind
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 14 okt 2012, 15:46

Re: 1=0 ?!?

Bericht door Math=Mind » 15 okt 2012, 15:27

Oké, dus als is het goed begrijp mag je niet zomaar de "normale" Ln toepassen op . Je moet dus werken volgens . Maar je krijgt als je deze Ln berekent toch alsnog ?
En dan krijg je als je de Ln neemt van de complexe 1 (dus ), toch 0?
Dit impliceert toch dat beide zijden van het = teken gelijk zijn, en dus 2i*pi gelijk aan 0 is? En dan geldt toch (ondanks de definitie dat i wortel -1 is) dat i toch gewoon gelijk aan 0 is? Dit is nou juist wat ik er zo raar aan vind.
Of komt het omdat ik i als een normale variabele (eg. x) beschouw ofzo?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14224
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: 1=0 ?!?

Bericht door SafeX » 15 okt 2012, 16:12

Math=Mind schreef:Of komt het omdat ik i als een normale variabele (eg. x) beschouw ofzo?
Precies.



Maw 2pi is argument van je complexe getal.

Math=Mind
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 3
Lid geworden op: 14 okt 2012, 15:46

Re: 1=0 ?!?

Bericht door Math=Mind » 15 okt 2012, 16:58

Oh zo ik begrijp het. Dus is wel , en de Ln van is dus niet maar 0. Nou staan er dus aan de linker- en rechterkant van het = teken dus weer gelijke termen. Nu snap ik het :D , bedankt!

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14224
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: 1=0 ?!?

Bericht door SafeX » 15 okt 2012, 18:15

De log functie ( we schrijven geen ln) is ook weer complex! Kijk naar de definitie ...

Plaats reactie