Het voordeligste

[barto]

In België kan je in plaats van een gewoon treinticket een 10-rittenkaart kopen van €50 die bruikbaar is voor elke verplaatsing. Het is wel vanzelfsprekend dat je met die kaart alleen ritten gaat nemen die normaal gezien minstens €5 kosten, anders heb je geen voordeel van je kaart. Toch?

Stel nu dat de prijs plots is gestegen tot €60, maar je kan nog steeds 10 ritjes maken. Je zit echter nog met een kaart die vroeger €50 heeft gekost. Is het dan nog voordelig om een treinrit te maken van €5.50, of wordt het pas voordelig vanaf €6?

En wat als je na de prijsstijging nog met 2 volle kaarten van €50 zit, en met één van €60 die je hebt bijgekocht. Is het dan nog voordelig om een rit te maken van €5.50 of wordt het pas voordelig vanaf €6? Of vanaf €5.3333...?

Ik zit echt helemaal in de knoop

[David]

Je wilt het denk ik ook af laten hangen van de geldigheid van de kaartjes. Als ze nog kort geldig zijn, wil je waarschijnlijk elk ritje wel maken met die kaart.

[wnvl]

Dat de prijs vroeger 50EUR was, is volgens mij in geen enkel opzicht relevant (die 50 EUR is toch al uitgegeven), maar verbeter mij als ik verkeerd ben.

Ik hou wel van dit soort vragen. Laat ons het vraagstuk wat verfijnen zodat we het kunnen oplossen.

De kaart die nu 60EUR waard is heeft een geldigheidsduur van 10 maanden.
Ik maak gemiddeld elke maand 1 rit, soms wat sneller, soms duurt het wat langer eer ik een rit maak. De prijs van een rit tussen 2 Belgische stations is uniform verdeeld tussen 0 en 12EUR. Vandaag maak ik een treinrit. Boven welk bedrag gebruik ik mijn 10-ritten kaart?

Een mooie variant. Stel ik heb nog geen 10-rittenkaart in mijn bezit (die 10 maanden meegaat).Ik maak gemiddeld elke maand 1 rit, soms wat sneller, soms duurt het wat langer eer ik een rit maak. De prijs van een rit is uniform verdeeld tussen 0 en 12EUR. Vandaag maak ik een treinrit. Boven welk bedrag (ik bedoel de prijs van de rit van vandaag) is het interessant om mij vandaag een 10-ritten van 60EUR kaart aan te schaffen?

[David]

Is er meer bekend over de prijs van je treinritten? Bijvoorbeeld als je meestal 2 euro per rit besteed, maar vandaag bij uitzondering een rit van 12 euro wilt maken, wil je denk ik geen 10-rittenkaart.

[wnvl]

Wat je dus nodig hebt is de kansdichtheidsfunctie van de prijs voor een rit X.

Als je N ritten maakt wordt de verdeling van de prijs van de N ritten tesamen



gegeven door



met * de convolutie.

De kans op een bepaald aantal ritten kan vermoedelijk gemodelleerd worden met een Poisson of Bernouilli verdeling met het verwacht aantal ritten per tijdseenheid. De kans op n ritten stellen we voor door P(n, t) met t de resterende looptijd van de rittenkaart.

We moeten nu over de verschillende kansen heen de verwachtte kostprijs berekenen van de nog te maken ritten voor 2 gevallen:

A: voor de huidige rit de rittenkaart gebruikt wordt, we noemen deze kost
B: voor de huidige rit de rittenkaart NIET gebruikt wordt, we noemen deze kost

De 2 kosten moeten vergeleken worden en er moet gekozen worden voor de laagste verwachtte kost.

Bij deze oefening beschouwen we de kost van de rittenkaart 0 als die op het moment van de beslissing al gekocht is.

We berekenen de kostprijs voor A. We lopen hierbij over de kans dat er nadien nog ritten volgen.




met E(1, t) de verwachtte kosprijs van 1 rit in de nog lopende tijd t en E(2) de verwachtte kosprijs van 1 rit in de nog lopende tijd t. Die E(1, t) en E(2, t) zijn niet evident om te berekenen, want afhankelijk wanneer die ene of 2 ritten vallen zal er op dat moment voor gekozen worden om al dan niet de rittenkaart te gebruiken. Er is hier afhankelijkheid van de looptijd van de 10 rittenkaart voor E(i, t).

Ik begin de complexiteit te zien en het wordt duidelijk dat als er niet gediscretiseerd wordt, ik het niet opgelost krijg.

Als het gediscretiseerd wordt kan het m.i. opgelost worden met de technieken uit het dynamisch programmeren.

[arie]

Als je al 2 kaarten van €50 en 1 van €60 hebt, dan loont het het meest om ze alle 3 in te zetten voor ritten van €6 of hoger (als je 30 keer of vaker voor die bedragen met de trein reist).
Die 2 kaarten van €50 zijn dan feitelijk 2 x €60 waard.

Als je de 2 kaarten van €50 zou gebruiken voor ritten tussen €5 en €6, dan ben je wel voordeliger uit dan dat je zou zijn zonder die kaarten, maar daarvoor in de plaats moet je wel 2 extra €60 euro kaarten kopen (aangenomen dat je vaak genoeg boven €6 reist), die duurder zijn dan de 20 ritten tussen €5 en €6.

Rekenvoorbeeld:
Stel je reist per jaar gemiddeld
20 ritten x € 4.50 = € 90
20 ritten x € 5.50 = € 110
20 ritten x € 6.50 = € 130
20 ritten x € 7.50 = € 150
zonder korting = € 480

Met 4 x € 60 kaarten die je inzet op de ritten boven € 6 :
20 ritten x € 4.50 = € 90
20 ritten x € 5.50 = € 110
20 ritten x € 6.50 = € 120 (2 x reductiekaart)
20 ritten x € 7.50 = € 120 (2 x reductiekaart)
in totaal € 440

Zet de 2 kaarten van € 50 in op de € 5.50 ritten, die van € 60 op € 6.50 en koop 3 x € 60 bij:
20 ritten x € 4.50 = € 90
(20 - 2x10) ritten x € 5.50 = € 0
(20-10) ritten x € 6.50 = € 60 (1 x reductiekaart erbij)
20 ritten x € 7.50 = € 120 (2 x reductiekaart erbij)
in totaal € 160 (voor de 3 kaarten die je al had) + € 270 = € 430

Zet de 2 kaarten van € 50 in op de € 6.50 ritten, die van € 60 op € 7.50 en koop 1 x € 60 bij:
20 ritten x € 4.50 = € 90
20 ritten x € 5.50 = € 110
(20 - 2x10) ritten x € 6.50 = € 0
(20 - 10) ritten x € 7.50 = € 60 (1 x reductiekaart erbij)
in totaal € 160 (voor de 3 kaarten die je al had) + € 260 = € 420