Wiskundeforum

Hallo allemaal,

Hier misschien een hulpmiddel om eenvoudiger de reeks 5^n en 6^n te berekenen
Ik begin maar met n=2 en verder.
n 2 3 4 5 6
5^n 25 125 625 3125 15625
als je bij al die getallen 25 weghaalt (ofwel (5^n-25)/100, krijg je de volgende reeks
n 2 3 4 5 6
(5^n-25)/100 0 1 6 31 156
In deze reeks kan je de recursieve formule
u(n)=5u(n-1)+1 en de directe formule (5^(n-2)-1)/4
als je dan zo de volgende uitkomst uitrekent, en je zet er 25 achter (ofwel * 100 en dan + 25 krijg je weer 5^n. 156*5+1=781. 25 erachter levert 5^7=78125 (dit klopt ook voor 5^0 en 5^1

Dan maar 6^n
eigenlijk een beetje hetzelfde idee,
n 1 2 3 4 5
6^n 6 36 216 1296 7776
Hier alleen de 6 weghalen ofwel (6^n-6)/10 levert:
n 1 2 3 4 5
(6^n-6)/10 0 3 21 129 777
Ook hier weer een recursieve formule: u(n)=6u(n-1)+3
en de directe formule 0.6(6^(n-1)-1)
als je nu 6^6 wilt uitrekenen, 777*6+3 en dan een 6 erachter (*10+6) levert 6^6=46656

Even een opmerking met betrekking tot de terminologie: je hebt hier te maken met een rij en niet met een reeks. Een reeks is namelijk de som van de termen van een rij.

Leuk bedacht. Maar eigenlijk moet je nog wel even bewijzen dat de recursie formules voor alle n opgaan.

Hallo,

Arno, bedankt voor de extra informatie, zal het evt meenemen waar nodig in volgende posts
Tsagld, dank je voor het compliment. voor het opstellen van de formules ben ik begonnen met het opstellen van de recursieve formule, daarna heb ik de directe formule opgesteld. voor het opstellen van de directe formule ben ik: uitgegaan van:
recursief: u(n)=a*u(n-1)+b met u(d)=c (u(d) omdat ik niet met u(0) begon, dus maar een letter zette)
direct: u(n)= c*a^(n-d)+b(a^(n-d))/(a-1).

Voor 5^n:

De directe formule kan ik wel bewijzen, om 5^n te vinden moest je vermenigvuldigen met 100 en dan 25 optellen.
((5^(n-2)-1)/4)*100+25=
(5^(n-2)-1)*25+25=
5^(n-2)*5^2-25+25= (25=5^2)
5^n (x^m*x^n=x^(m+n) n-2+2=n
in deze formule, de a=5, b=1, c=0, d=2
levert recursief: u(n)=5u(n-1)+1 met u(2)=0, (u(0)=-0.24 mocht dat nodig zijn)

Voor 6^n:

om 6^n te vinden, moest je vermenigvuldigen met 10 en dan 6 optellen.
0.6(6^(n-1)-1)*10+6=
6(6^(n-1)-1)+6=
6^(n-1)*6^1-6+6=
6^n

0.6(6^(n-1)-1)=3(6^(n-1)-1)/5
a=6, b=3, c=0 d=1 levert recursieve formule
u(n)=6*u(n-1)+3 met u(1)=0 (u(0)=-0.5)

recursief: u(n)=a*u(n-1)+b met u(d)=c
direct: u(n)= c*a^(n-d)+b(a^(n-d))/(a-1).
Daar kwam ik aan door te stellen
u(0)=0 u(1)=b u(2)=ab+b u(3)=a^2*b+ab+b enz enz.
daarin kan je herkennen b(a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1)=b(a^(n+1)-1)/(a-1)
als je u(0)=c stelt, moet je bij b(a^n-1)/(a-1), c*a^n optellen, dus
b(a^n-1)/(a-1)+c*a^n. als je u(d) toepast, wordt je grafiek/tabel verschoven, d naar rechts, dan moet je bij de variabele n, d eraf halen, dus translatie n wordt n-d (weet niet precies meer hoe je translatie formuleert)

Weet niet precies of het zo een goed bewijs of toelichting is, maar helemaal "wiskundig verantwoord" kan ik het niet aantonen, hoop dat dit volstaat...