[meetkunde]Een andere definitie voor rechte hoek(deel 1t/m4)
4 berichten
• Pagina 1 van 1
[meetkunde]Een andere definitie voor rechte hoek(deel 1t/m4)
door op=op » 25 Mei 2010, 09:11
Vergeet even wat rechte hoeken zijn. We geven er een andere betekenis aan:
Definitie:
Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als ze dezelfde hoek maken met de x-as (supplementaire hellingshoeken). Zie tekening.
Wat klopt er dan nog van de volgende bewering:
Alle hoogtelijnen in een driehoek gaan door één punt.
Zie tekening. Dat klopt nog steeds.
Alle middelloodlijnen gaan door één punt.
Zie tekening. Dat klopt nog steeds.
De Euler lijn: Het hoogtepunt, het zwaartepunt en het gemeenschappelijke punt van de middelloodlijnen liggen op één lijn.
Zie tekening. Dat klopt nog steeds.
We kunnen doorgaan met het geven van voorbeelden. Het blijkt steeds te kloppen.
Definitie:
Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als ze dezelfde hoek maken met de x-as (supplementaire hellingshoeken). Zie tekening.
Wat klopt er dan nog van de volgende bewering:
Alle hoogtelijnen in een driehoek gaan door één punt.
Zie tekening. Dat klopt nog steeds.
Alle middelloodlijnen gaan door één punt.
Zie tekening. Dat klopt nog steeds.
De Euler lijn: Het hoogtepunt, het zwaartepunt en het gemeenschappelijke punt van de middelloodlijnen liggen op één lijn.
Zie tekening. Dat klopt nog steeds.
We kunnen doorgaan met het geven van voorbeelden. Het blijkt steeds te kloppen.
-
op=op - Vergevorderde
- Berichten: 1096
- Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11
[meetkunde]Een andere definitie voor rechte hoek (deel 2)
door op=op » 26 Mei 2010, 11:28
Een hyperbool heeft een heel bijzondere eigenschap. Zie tekening.
MP (straal) staat loodrecht op de raaklijn in P aan de hyperbool.
Een hyperbool heeft dus de bijzondere eigenschap: "straal staat loodrecht op raaklijn".
Die eigenschap gold altijd voor de cirkel. Nu geldt hij voor de hyperbool.
Een cirkel wás per definitie de verzameling van punten op gelijke afstand van het middelpunt.
Nú geldt (zoals later zal blijken) dat de hyperbool de verzameling van punten is op gelijke afstand van het middelpunt.
De rol van de cirkel lijkt te zijn overgenomen door de hyperbool.
De meetkunde was de studie van lijnen en cirkels en is verworden tot de studie van lijnen en hyperbolen.
Voorbeelden: (cirkel wordt steeds vervangen door hyperbool).
Stelling van Thales:
Een ingeschreven driehoek, waarvan één zijde een middellijn vormt, is een rechthoekige driehoek.
Zie figuur. Klopt.
Een middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt.
Zie figuur. Klopt.
Een meetkundeprobleem van enkele weken terug:
Een lijn door P snijdt de /*cirkel*/ hyperbool met middelpunt M in A en B. k is de lijn door P loodrecht op lijn PM. De raaklijnen in A en B aan de /*cirkel*/ hyperbool snijden k in X en Y. Bewijs dat P het midden van lijnstuk XY is.
Zie figuur. Klopt. Het bewijs wordt wijselijk aan de lezer overgelaten.
MP (straal) staat loodrecht op de raaklijn in P aan de hyperbool.
Een hyperbool heeft dus de bijzondere eigenschap: "straal staat loodrecht op raaklijn".
Die eigenschap gold altijd voor de cirkel. Nu geldt hij voor de hyperbool.
Een cirkel wás per definitie de verzameling van punten op gelijke afstand van het middelpunt.
Nú geldt (zoals later zal blijken) dat de hyperbool de verzameling van punten is op gelijke afstand van het middelpunt.
De rol van de cirkel lijkt te zijn overgenomen door de hyperbool.
De meetkunde was de studie van lijnen en cirkels en is verworden tot de studie van lijnen en hyperbolen.
Voorbeelden: (cirkel wordt steeds vervangen door hyperbool).
Stelling van Thales:
Een ingeschreven driehoek, waarvan één zijde een middellijn vormt, is een rechthoekige driehoek.
Zie figuur. Klopt.
Een middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt.
Zie figuur. Klopt.
Een meetkundeprobleem van enkele weken terug:
Een lijn door P snijdt de /*cirkel*/ hyperbool met middelpunt M in A en B. k is de lijn door P loodrecht op lijn PM. De raaklijnen in A en B aan de /*cirkel*/ hyperbool snijden k in X en Y. Bewijs dat P het midden van lijnstuk XY is.
Zie figuur. Klopt. Het bewijs wordt wijselijk aan de lezer overgelaten.
-
op=op - Vergevorderde
- Berichten: 1096
- Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11
[meetkunde]Een andere definitie voor rechte hoek (deel 3)
door op=op » 27 Mei 2010, 10:17
De stellingvan Pythagoras:
We lezen uit de twee figuren af:
en dat betekent:
.
Het begrip afstand heeft een verandering ondergaan.
De volgende tekening stelt een vierkant voor, zowel volgens de oude als de nieuwe definitie van rechte hoek.
Elke figuur kun je benaderen met een vereniging van dit soort vierkantjes.
Dat betekent dat de oppervlakte van een figuur in de oude en nieuwe meetkunde hetzelfde is.
Hoeken en de verhoudingen zoals sinus en cosinus werden gedefinieerd m.b.v. een cirkel. Vervang je de cirkel door een hyperbool, dan levert dat:
 = \frac{\mbox{overstaande zijde}}{\mbox{schuine zijde}})
en zo analoge definities voor cosh, tanh, cotanh.
Toen Einstein in het begin van de vorige eeuw met zijn speciale relativiteitstheorie kwam, inspireerde dat veel fysici en wiskundigen, zoals Minkowski. Hij bedacht de hyperbolische meetkunde in de vorm van de, zoals dat nu heet, Minkowski ruimte. Het is de vierdimensionale ruimte-tijd, waarin de theorie van Einstein kon worden verwoord.
Het bovenstaande verhaal is een 1-dimensonale-ruimte-tijd weergave.
In deel 4 (slot) zal het gaan over motoren.
We lezen uit de twee figuren af:
en dat betekent:
Het begrip afstand heeft een verandering ondergaan.
De volgende tekening stelt een vierkant voor, zowel volgens de oude als de nieuwe definitie van rechte hoek.
Elke figuur kun je benaderen met een vereniging van dit soort vierkantjes.
Dat betekent dat de oppervlakte van een figuur in de oude en nieuwe meetkunde hetzelfde is.
Hoeken en de verhoudingen zoals sinus en cosinus werden gedefinieerd m.b.v. een cirkel. Vervang je de cirkel door een hyperbool, dan levert dat:
en zo analoge definities voor cosh, tanh, cotanh.
Toen Einstein in het begin van de vorige eeuw met zijn speciale relativiteitstheorie kwam, inspireerde dat veel fysici en wiskundigen, zoals Minkowski. Hij bedacht de hyperbolische meetkunde in de vorm van de, zoals dat nu heet, Minkowski ruimte. Het is de vierdimensionale ruimte-tijd, waarin de theorie van Einstein kon worden verwoord.
Het bovenstaande verhaal is een 1-dimensonale-ruimte-tijd weergave.
In deel 4 (slot) zal het gaan over motoren.
-
op=op - Vergevorderde
- Berichten: 1096
- Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11
[algebra]Een andere definitie voor rechte hoek (deel 1,2,3,4
door op=op » 28 Mei 2010, 08:50
De vergelijking
heeft 2 nulpunten, namelijk 1 en -1.
Veronderstel dat de vergelijking nog een derde oplossing heeft
.
Dan is dus
.
Met dit extra "getal" kunnen we de reële getallen uitbreiden tot de verzameling
.
Getallen uit deze verzameling kun je bij elkaar optellen of met elkaar vermenigvuldigen.
Bijvoorbeeld:
(2+5\cdot j) = 6 + 19\cdot j + 10 j^2 = 16 + 19j)
.
Als
, met 
en 
reële getallen,
dan definiëren we
.
We definiëren nu de absolute waarde van een getal:
Met
betekent dit
(a-bj) = a^2-b^2)
.
Het volgende getal heeft onze bijzondere aandacht:
Elk getal kun je nu schrijven in de vorm
.
Kijk maar:
e + (x+y)\bar{e})
.
Dus onze getallenverzameling kunnen we ook als volgt noteren
.
wordt meestal afgekort tot )
.
Nu geldt
 + (c,d) = (a+c,b+d))
en
\cdot(c,d) = (ac,bd))
.
Optellen en vermenigvuldigen gaat dus coördinaatsgewijs.
De coördinaten zijn onafhankelijk van elkaar bij rekenkundige bewerkingen.
Je rekent dus als het ware met 2 onafhankelijke getallenlijnen naast elkaar.
} = (b,a))
.
| = ab)
.
Merk op:| = 0)
dan en slechts dan als 
of 
.
Dat zijn precies de getallenparen op de x-as en de y-as.
Merk ook op, voor
:
| = c)
dan en slechts dan als 
.
In woorden staat hier: De punten die op een constante afstand c van de oorsprong liggen zijn de punten op een hyperbool.
We hebben hier blijkbaar de meetkunde van voorheen te pakken.
Wat de complexe getallen zijn voor de gewone ruimte (vergelijking cirkel: |z|=c), zijn de hier besproken hyperbolische getallen voor de hyperbolische ruimte (vergelijking hyperbool: |z|=c).
Vergelijking van Euler:
 + j\sinh(\theta))
(hier is e=2,718...)
(volgt makkelijk uit machtreeksen).
We kunnen hyperbolische getallen derhalve schrijven in de vorm
.
Zoals we complexe getallen konden inzetten om meetkundige problemen op te lossen, zo kunnen we hyperbolische getallen (ook motoren genoemd) inzetten om hyperbolisch meetkundige problemen op te lossen.
Een laatste opmerking:
Als we in
aan beide zijden de wortel trekken, dan krijgen we
.
Blijkbaar is
.
Stel nu dat
een betekenis heeft,
dan volgt uit
dat (aan beide zijden de wortel trekken)
waaruit velen dan concluderen dat
.
Maar dat veronderstelt dat
en dat is zoals we bij j zagen een dubieuze bewering.
heeft 2 nulpunten, namelijk 1 en -1.
Veronderstel dat de vergelijking nog een derde oplossing heeft
Dan is dus
Met dit extra "getal" kunnen we de reële getallen uitbreiden tot de verzameling
Getallen uit deze verzameling kun je bij elkaar optellen of met elkaar vermenigvuldigen.
Bijvoorbeeld:
Als
dan definiëren we
We definiëren nu de absolute waarde van een getal:
Met
Het volgende getal heeft onze bijzondere aandacht:
Elk getal kun je nu schrijven in de vorm
Kijk maar:
Dus onze getallenverzameling kunnen we ook als volgt noteren
Nu geldt
Optellen en vermenigvuldigen gaat dus coördinaatsgewijs.
De coördinaten zijn onafhankelijk van elkaar bij rekenkundige bewerkingen.
Je rekent dus als het ware met 2 onafhankelijke getallenlijnen naast elkaar.
Merk op:
Dat zijn precies de getallenparen op de x-as en de y-as.
Merk ook op, voor
In woorden staat hier: De punten die op een constante afstand c van de oorsprong liggen zijn de punten op een hyperbool.
We hebben hier blijkbaar de meetkunde van voorheen te pakken.
Wat de complexe getallen zijn voor de gewone ruimte (vergelijking cirkel: |z|=c), zijn de hier besproken hyperbolische getallen voor de hyperbolische ruimte (vergelijking hyperbool: |z|=c).
Vergelijking van Euler:
(volgt makkelijk uit machtreeksen).
We kunnen hyperbolische getallen derhalve schrijven in de vorm
Zoals we complexe getallen konden inzetten om meetkundige problemen op te lossen, zo kunnen we hyperbolische getallen (ook motoren genoemd) inzetten om hyperbolisch meetkundige problemen op te lossen.
Een laatste opmerking:
Als we in
aan beide zijden de wortel trekken, dan krijgen we
Blijkbaar is
Stel nu dat
dan volgt uit
waaruit velen dan concluderen dat
Maar dat veronderstelt dat
en dat is zoals we bij j zagen een dubieuze bewering.
-
op=op - Vergevorderde
- Berichten: 1096
- Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11
4 berichten
• Pagina 1 van 1
Terug naar Tutorials en Minicursussen
Wie is er online?
Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast