[meetkunde]Een andere definitie voor rechte hoek(deel 1t/m4)

Heb je een leuke tutorial, een duidelijke uitleg van een bepaald onderwerp, een interessante minicursus of heb je een leuk trucje gevonden, post het hier.

[meetkunde]Een andere definitie voor rechte hoek(deel 1t/m4)

Berichtdoor op=op » 25 Mei 2010, 09:11

Vergeet even wat rechte hoeken zijn. We geven er een andere betekenis aan:

Definitie:
Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als ze dezelfde hoek maken met de x-as (supplementaire hellingshoeken). Zie tekening.
Afbeelding
Wat klopt er dan nog van de volgende bewering:
Alle hoogtelijnen in een driehoek gaan door één punt.
Zie tekening. Dat klopt nog steeds.
Afbeelding
Alle middelloodlijnen gaan door één punt.
Zie tekening. Dat klopt nog steeds.
Afbeelding

De Euler lijn: Het hoogtepunt, het zwaartepunt en het gemeenschappelijke punt van de middelloodlijnen liggen op één lijn.
Zie tekening. Dat klopt nog steeds.
Afbeelding
We kunnen doorgaan met het geven van voorbeelden. Het blijkt steeds te kloppen.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

[meetkunde]Een andere definitie voor rechte hoek (deel 2)

Berichtdoor op=op » 26 Mei 2010, 11:28

Een hyperbool heeft een heel bijzondere eigenschap. Zie tekening.
Afbeelding

MP (straal) staat loodrecht op de raaklijn in P aan de hyperbool.
Een hyperbool heeft dus de bijzondere eigenschap: "straal staat loodrecht op raaklijn".
Die eigenschap gold altijd voor de cirkel. Nu geldt hij voor de hyperbool.
Een cirkel wás per definitie de verzameling van punten op gelijke afstand van het middelpunt.
geldt (zoals later zal blijken) dat de hyperbool de verzameling van punten is op gelijke afstand van het middelpunt.
De rol van de cirkel lijkt te zijn overgenomen door de hyperbool.
De meetkunde was de studie van lijnen en cirkels en is verworden tot de studie van lijnen en hyperbolen.

Voorbeelden: (cirkel wordt steeds vervangen door hyperbool).
Stelling van Thales:
Een ingeschreven driehoek, waarvan één zijde een middellijn vormt, is een rechthoekige driehoek.
Zie figuur. Klopt.
Afbeelding
Een middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt.
Zie figuur. Klopt.
Afbeelding
Een meetkundeprobleem van enkele weken terug:
Een lijn door P snijdt de /*cirkel*/ hyperbool met middelpunt M in A en B. k is de lijn door P loodrecht op lijn PM. De raaklijnen in A en B aan de /*cirkel*/ hyperbool snijden k in X en Y. Bewijs dat P het midden van lijnstuk XY is.
Zie figuur. Klopt. Het bewijs wordt wijselijk aan de lezer overgelaten.
Afbeelding
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

[meetkunde]Een andere definitie voor rechte hoek (deel 3)

Berichtdoor op=op » 27 Mei 2010, 10:17

De stellingvan Pythagoras:
Afbeelding
We lezen uit de twee figuren af:

en dat betekent:
.

Het begrip afstand heeft een verandering ondergaan.

De volgende tekening stelt een vierkant voor, zowel volgens de oude als de nieuwe definitie van rechte hoek.
Afbeelding
Elke figuur kun je benaderen met een vereniging van dit soort vierkantjes.
Dat betekent dat de oppervlakte van een figuur in de oude en nieuwe meetkunde hetzelfde is.

Hoeken en de verhoudingen zoals sinus en cosinus werden gedefinieerd m.b.v. een cirkel. Vervang je de cirkel door een hyperbool, dan levert dat:

en zo analoge definities voor cosh, tanh, cotanh.

Toen Einstein in het begin van de vorige eeuw met zijn speciale relativiteitstheorie kwam, inspireerde dat veel fysici en wiskundigen, zoals Minkowski. Hij bedacht de hyperbolische meetkunde in de vorm van de, zoals dat nu heet, Minkowski ruimte. Het is de vierdimensionale ruimte-tijd, waarin de theorie van Einstein kon worden verwoord.
Het bovenstaande verhaal is een 1-dimensonale-ruimte-tijd weergave.
In deel 4 (slot) zal het gaan over motoren.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

[algebra]Een andere definitie voor rechte hoek (deel 1,2,3,4

Berichtdoor op=op » 28 Mei 2010, 08:50

De vergelijking

heeft 2 nulpunten, namelijk 1 en -1.
Veronderstel dat de vergelijking nog een derde oplossing heeft .
Dan is dus
.
Met dit extra "getal" kunnen we de reële getallen uitbreiden tot de verzameling
.

Getallen uit deze verzameling kun je bij elkaar optellen of met elkaar vermenigvuldigen.
Bijvoorbeeld:
.

Als , met en reële getallen,
dan definiëren we
.
We definiëren nu de absolute waarde van een getal:

Met betekent dit
.

Het volgende getal heeft onze bijzondere aandacht:

Elk getal kun je nu schrijven in de vorm .
Kijk maar:
.
Dus onze getallenverzameling kunnen we ook als volgt noteren
.
wordt meestal afgekort tot .
Nu geldt
en
.
Optellen en vermenigvuldigen gaat dus coördinaatsgewijs.
De coördinaten zijn onafhankelijk van elkaar bij rekenkundige bewerkingen.
Je rekent dus als het ware met 2 onafhankelijke getallenlijnen naast elkaar.
.
.

Merk op: dan en slechts dan als of .
Dat zijn precies de getallenparen op de x-as en de y-as.
Merk ook op, voor :
dan en slechts dan als .
In woorden staat hier: De punten die op een constante afstand c van de oorsprong liggen zijn de punten op een hyperbool.
We hebben hier blijkbaar de meetkunde van voorheen te pakken.
Wat de complexe getallen zijn voor de gewone ruimte (vergelijking cirkel: |z|=c), zijn de hier besproken hyperbolische getallen voor de hyperbolische ruimte (vergelijking hyperbool: |z|=c).

Vergelijking van Euler:
(hier is e=2,718...)
(volgt makkelijk uit machtreeksen).
We kunnen hyperbolische getallen derhalve schrijven in de vorm
.

Zoals we complexe getallen konden inzetten om meetkundige problemen op te lossen, zo kunnen we hyperbolische getallen (ook motoren genoemd) inzetten om hyperbolisch meetkundige problemen op te lossen.

Een laatste opmerking:
Als we in

aan beide zijden de wortel trekken, dan krijgen we
.
Blijkbaar is .
Stel nu dat een betekenis heeft,
dan volgt uit
dat (aan beide zijden de wortel trekken)

waaruit velen dan concluderen dat .
Maar dat veronderstelt dat
en dat is zoals we bij j zagen een dubieuze bewering.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11


Terug naar Tutorials en Minicursussen

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast

Wie is er online?

Er is in totaal 1 gebruiker online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 1 gast (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 1 gast
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.