[verzamelingstheoretische meetkunde] De paradox v. Hausdorff

Heb je een leuke tutorial, een duidelijke uitleg van een bepaald onderwerp, een interessante minicursus of heb je een leuk trucje gevonden, post het hier.

[verzamelingstheoretische meetkunde] De paradox v. Hausdorff

Berichtdoor op=op » 20 Jun 2010, 14:45

Iemand beweert het volgende:

Een massieve bol is uiteengevallen in een paar stukken.
Nadat ik de uiteengevallen massieve bol weer in elkaar had gezet bleken er 2 massieve bollen ontstaan te zijn, die elk identiek zijn aan de oorspronkelijke bol.

Zou je die persoon geloven? Nee natuurlijk. Het zou betekenen dat je massa uit het niets kunt creëren.
Toch kan het!!! Het heet de paradox van Banach-Tarski.
Maar hoe kan dat dan? Je kunt de inhoud van een bol toch niet zo maar verdubbelen door de bol in een paar stukken te breken en die stukken weer in elkaar te zetten (bewerkingen: translaties en rotaties)?
Wel, de grap is dat je aan die brokstukken geen inhoud kunt toekennen (Ze zijn niet meetbaar). Wat hiermee bedoeld wordt zien we later wel.

In dit artikel doen we een eerste stap. De paradox van Hausdorff.
We verdelen het oppervlak van een bol in 4 stukken.
De stukken heten .
Als je de bol draait over de vertikale centrale as (as door noord- en zuidpool), dan gaat verzameling over in , en als je andersom draait, dus over , dan gaat over in .
Draai je de bol , maar langs een as die een hoek van maakt met de noord-zuidpool as, dan gaat over in .

Het lijkt dus dat je een oppervlak kunt verdubbelen door te draaien.
Absurd, maar waar.
Wordt vervolgd.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

[verz.theoretische meetkunde] De paradox v. Hausdorff (2)

Berichtdoor op=op » 21 Jun 2010, 15:00

Afbeelding

We bekijken 2 draaiingen, en . Zie tekening.
Als een punt op de bol is, dan willen we weten welke punten op de bol vanuit bereikt kunnen worden door een combinatie van draaiingen en .
Hierbij betekent , 1x draaien over 180 graden en vervolgens 2x draaien over 120 graden (Zie tekening). (N.B. van rechts naar links lezen).
Merk op dat er effectief niets is gebeurd als je 2x over 180 graden draait ( ) of 3x over 120 graden ( ).
Zo is .
We zullen schrijven (Draaiing over -120 graden).
We kunnen nu alle mogelijke verschillende draaiingen opsommen. Het zijn:
.
Dus op een draaiing van 180 graden, , is alleen een draaiing over zinvol ( ), en na volgt altijd een draaiing over 180 graden ( ).

(N.B. Wie bekend is met lineaire algebra weet dat en 3x3 matrices zijn. De beweringen die hier gedaan worden zijn met wat algebra eenvoudig te checken).

Van de vier oppervlakken die we gaan definiëren ( is het nu tijd om verzameling te bepalen.

Een combinatie van draaiingen (b.v. ) kun je ook zien als één draaiing over een zekere hoek en over een zekere as. De uiteinden van die as (2 punten), blijven bij draaiing op hun plaats.
Kortom, bij elke draaiing horen 2 polen.
is de verzameling van alle polen uit bovenstaande rijtje draaiingen .
Aangezien het rijtje draaiingen aftelbaar is, geldt dat ook voor verzameling .
In het laatste deel volgt de ontknoping.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

[verz.theoretische meetkunde] De paradox v. Hausdorff (slot)

Berichtdoor op=op » 22 Jun 2010, 10:39

Afbeelding
Alle draaiingen op een rijtje:
.

Kies een punt op de bol.
(N.B. We kunnen er voor kiezen de verzameling uit te sluiten. Dan kiezen we steeds ).
We bekijken nu die en de beeldpunten ervan ontstaan door alle
bovengenoemde draaiingen. Dus
.

Als , dan is ,
(want, zeg , dan draaien we door en krijgen
).

Als , dan geldt altijd óf .
(want als en b.v. , dan is
met draaiingen, en dus
en dus is ).

is dus een familie van punten (noem het b.v. de familie Jansen).
Een punt behoort tot die familie (dan is ), of
anders behoort hij tot een totaal andere familie. Laat nu elke familie één lid
afvaardigen. (Er zijn heel veel families, want elk punt ( )
op de bol behoort tot een familie).
Noem die verzameling van familierepresentanten (keuzeaxioma!).

We bekijken nu die en de beeldverzamelingen ervan ontstaan door
alle bovengenoemde draaiingen. Dus
.

Elk van deze verzamelingen uit voegen we een voor een toe aan de verzamelingen .
We starten met de verzameling , die we in stoppen.
Afbeelding
We volgen nu het schema (zie tekening).
is toegevoegd aan , dus (zie schema) en worden toegevoegd aan ,
en wordt toegevoegd aan .
Zo verdergaande vinden we


.
Als we eenmaal de verzamelingen hebben kunnen we kijken naar .

1.) , want alle verzamelingen waaruit is opgebouwd worden volgens het schema (zie tekening) afgebeeld op , dus . Net zo is (zie tekening).
En dat betekent dat . Kortom .
2.) , want (zie tekening) , en , zodat .
3.) , want en , zodat .

Dus de verzameling draaien over levert een verdubbeling op van het oppervlak.
De verzamelingen hebben geen oppervlakte (zijn niet meetbaar), anders zou opp(A) = opp(B+C) = 2.opp(A) zijn, hetgeen niet mogelijk is.

De paradox van Banach-Tarski borduurt hierop voort. In grote lijnen laat je de schil groeien totdat de bol gevuld is (op het middelpunt na), en dat losse puntje levert geen opstakel op.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11


Terug naar Tutorials en Minicursussen

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 2 gasten

cron

Wie is er online?

Er zijn in totaal 2 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 2 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 2 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.