[verzamelingstheoretische meetkunde] De paradox v. Hausdorff
Geplaatst: 20 jun 2010, 14:45
Iemand beweert het volgende:
Een massieve bol is uiteengevallen in een paar stukken.
Nadat ik de uiteengevallen massieve bol weer in elkaar had gezet bleken er 2 massieve bollen ontstaan te zijn, die elk identiek zijn aan de oorspronkelijke bol.
Zou je die persoon geloven? Nee natuurlijk. Het zou betekenen dat je massa uit het niets kunt creëren.
Toch kan het!!! Het heet de paradox van Banach-Tarski.
Maar hoe kan dat dan? Je kunt de inhoud van een bol toch niet zo maar verdubbelen door de bol in een paar stukken te breken en die stukken weer in elkaar te zetten (bewerkingen: translaties en rotaties)?
Wel, de grap is dat je aan die brokstukken geen inhoud kunt toekennen (Ze zijn niet meetbaar). Wat hiermee bedoeld wordt zien we later wel.
In dit artikel doen we een eerste stap. De paradox van Hausdorff.
We verdelen het oppervlak van een bol in 4 stukken.
De stukken heten .
Als je de bol draait over de vertikale centrale as (as door noord- en zuidpool), dan gaat verzameling over in , en als je andersom draait, dus over , dan gaat over in .
Draai je de bol , maar langs een as die een hoek van maakt met de noord-zuidpool as, dan gaat over in .
Het lijkt dus dat je een oppervlak kunt verdubbelen door te draaien.
Absurd, maar waar.
Wordt vervolgd.
Een massieve bol is uiteengevallen in een paar stukken.
Nadat ik de uiteengevallen massieve bol weer in elkaar had gezet bleken er 2 massieve bollen ontstaan te zijn, die elk identiek zijn aan de oorspronkelijke bol.
Zou je die persoon geloven? Nee natuurlijk. Het zou betekenen dat je massa uit het niets kunt creëren.
Toch kan het!!! Het heet de paradox van Banach-Tarski.
Maar hoe kan dat dan? Je kunt de inhoud van een bol toch niet zo maar verdubbelen door de bol in een paar stukken te breken en die stukken weer in elkaar te zetten (bewerkingen: translaties en rotaties)?
Wel, de grap is dat je aan die brokstukken geen inhoud kunt toekennen (Ze zijn niet meetbaar). Wat hiermee bedoeld wordt zien we later wel.
In dit artikel doen we een eerste stap. De paradox van Hausdorff.
We verdelen het oppervlak van een bol in 4 stukken.
De stukken heten .
Als je de bol draait over de vertikale centrale as (as door noord- en zuidpool), dan gaat verzameling over in , en als je andersom draait, dus over , dan gaat over in .
Draai je de bol , maar langs een as die een hoek van maakt met de noord-zuidpool as, dan gaat over in .
Het lijkt dus dat je een oppervlak kunt verdubbelen door te draaien.
Absurd, maar waar.
Wordt vervolgd.