[verz.theoretische meetkunde] De Banach-Tarski paradox

Heb je een leuke tutorial, een duidelijke uitleg van een bepaald onderwerp, een interessante minicursus of heb je een leuk trucje gevonden, post het hier.

[verz.theoretische meetkunde] De Banach-Tarski paradox

Berichtdoor op=op » 23 Jun 2010, 09:13

Uit de paradox van Hausdorff weten we (zie het betreffende tutorial) dat we een boloppervlak kunnen verdelen in 4 delen, .
was een aftelbare verzameling en ging bij draaiing over in .

We gaan nu uit dit boloppervlak 2 boloppervlakken maken.
Neem het stuk .
Verschuif daarvan het deel 1 meter naar links, en 1 meter naar rechts.
De verzameling was ons uitgangspunt van rotaties. We hadden ook verzameling als uitgangspunt kunnen nemen. Dan was bij rotatie overgegaan in . Verplaats nu van deel , 1 meter naar links en 1 meter naar rechts.
Kortom, zo voortgaande ontstaan 2 boloppervlakken,
de ene is een volledige bol ( ) en aan de andere ontbreekt verzameling .

Dat boloppervlak waaraan de verzameling ontbreekt kan door 1 draaiing overgaan in een volledig boloppervlak.
Dat gaat zo:
Een boloppervlak is een vereniging van evenwijdige cirkels.
We bekijken voor het gemak 1 zo'n cirkel.
Stel dat we aan die cirkel een aftelbare verzameling punten onttrekken.
Noem die verzameling .
is nu de verzameling , over graden (linksom) gedraaid.
.
We hebben een complete cirkel verdeeld in 3 verzamelingen (T is de rest).
Draai nu verzameling over een hoek van -1 graad. Dan gaat over in (ga na) en de cirkel is gevuld door draaiing van .
We draaien natuurlijk niet een cirkel, maar alle parallele cirkels die het boloppervlak vormen tegelijkertijd over dezelfde hoek van -1 graad.

We weten nu dat een boloppervlak door eindig veel verschuivingen en draaiingen omgezet kan worden in 2 boloppervlakken die identiek zijn aan de oorspronkelijke.
Wat voor een boloppervlak geldt, geldt ook voor een bol zonder middelpunt, want een bol is een verzameling van concentrische boloppervlakken.
Een bol zonder middelpunt is dus om te zetten in 2 bollen zonder middelpunt.
Hoe maken we nu uit 1 middelpunt 2 middelpunten?
Eenvoudig als volgt:
Teken een cirkel door een ontbrekend middelpunt en laat dat middelpunt terugkeren door draaien zoals hiervoor voor een cirkel is beschreven.

Merk op: In de fysieke wereld is een bol een verzameling van eindig veel atomen. Een wiskundige bol bevat oneindig veel punten. Wat wiskundig kan is dan ook niet altijd fysiek mogelijk, zoals in dit geval.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Terug naar Tutorials en Minicursussen

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 2 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 2 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 2 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 2 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.