We gaan nu uit dit boloppervlak 2 boloppervlakken maken.
Neem het stuk
Verschuif daarvan het deel
De verzameling
Kortom, zo voortgaande ontstaan 2 boloppervlakken,
de ene is een volledige bol (
Dat boloppervlak waaraan de verzameling
Dat gaat zo:
Een boloppervlak is een vereniging van evenwijdige cirkels.
We bekijken voor het gemak 1 zo'n cirkel.
Stel dat we aan die cirkel een aftelbare verzameling punten onttrekken.
Noem die verzameling
We hebben een complete cirkel verdeeld in 3 verzamelingen
Draai nu verzameling
We draaien natuurlijk niet een cirkel, maar alle parallele cirkels die het boloppervlak vormen tegelijkertijd over dezelfde hoek van -1 graad.
We weten nu dat een boloppervlak door eindig veel verschuivingen en draaiingen omgezet kan worden in 2 boloppervlakken die identiek zijn aan de oorspronkelijke.
Wat voor een boloppervlak geldt, geldt ook voor een bol zonder middelpunt, want een bol is een verzameling van concentrische boloppervlakken.
Een bol zonder middelpunt is dus om te zetten in 2 bollen zonder middelpunt.
Hoe maken we nu uit 1 middelpunt 2 middelpunten?
Eenvoudig als volgt:
Teken een cirkel door een ontbrekend middelpunt en laat dat middelpunt terugkeren door draaien zoals hiervoor voor een cirkel is beschreven.
Merk op: In de fysieke wereld is een bol een verzameling van eindig veel atomen. Een wiskundige bol bevat oneindig veel punten. Wat wiskundig kan is dan ook niet altijd fysiek mogelijk, zoals in dit geval.