Afleiding abc-formule.

Heb je een leuke tutorial, een duidelijke uitleg van een bepaald onderwerp, een interessante minicursus of heb je een leuk trucje gevonden, post het hier.

Afleiding abc-formule.

Berichtdoor SafeX » 14 Dec 2010, 17:51



Wie voelt zich geroepen op 'nette' wijze de abc-formule af te leiden.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14208
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor arno » 14 Dec 2010, 20:43

Stel ax²+bx+c = a(x-p)²+q, dan volgt uit ax²+bx+c = 0 dat a(x-p)²+q = 0, dus a(x-p)² = -q, dus , dus , dus .
Uit ax²+bx+c = a(x-p)²+q volgt: ax²+bx+c = ax²-2apx+ap²+q, dus -2ap = b en ap²+q = c, dus en , dus .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
arno
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1789
Geregistreerd: 25 Dec 2008, 16:28
Woonplaats: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor SafeX » 14 Dec 2010, 21:23

Ok, ik kom er nog op terug.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14208
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor David » 15 Dec 2010, 15:40














































Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor SafeX » 15 Dec 2010, 16:29

Ok, commentaar volgt.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14208
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor arie » 15 Dec 2010, 17:14

Nog een:

Gegeven:



met a ongelijk nul

Te bewijzen:

abc-formule

Bewijs:



deel links en rechts door a (= ongelijk nul):



splits kwadraat af:







(het plus/min teken maakt de laatste equivalentie hierboven mogelijk)

arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3033
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor Sjoerd Job » 16 Dec 2010, 18:07

Mijn voorkeur gaat uit naar de volgende:

Stel dat er geldt
, en tevens
Vermenigvuldiging met levert:
.
Aangezien , kunnen we schrijven

Dus ook

Het nemen van de wortel stelt ons in staat om te stellen
of
Dus:
of
Omdat mogen we nu delen door .
of

Het mooiste aan deze afleiding vind ik dat het de vraag `wat is het teken van a'-vermijdt, in tegenstelling tot de afleiding die begint met delen-door-a ( dat wil zeggen, in de stap: naar , welke alleen geldt als , anders wordt het namelijk )
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1148
Geregistreerd: 21 Jan 2006, 15:09
Woonplaats: Krimpen aan den IJssel

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor SafeX » 16 Dec 2010, 18:28

Gelukkig, dit is inderdaad een voordeel.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14208
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor David » 16 Dec 2010, 19:19

en



Stellen allebei hetzelfde voor. In die zin is geen methode correcter dan een andere methode.
Let wel op als en/of meer dan 1 keer in een vergelijking staan.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor Sjoerd Job » 16 Dec 2010, 22:01

David schreef: en



Stellen allebei hetzelfde voor. In die zin is geen methode correcter dan een andere methode.
Let wel op als en/of meer dan 1 keer in een vergelijking staan.

Klopt, ze stellen allebei hetzelfde voor, maar meestal wordt de stap
gemaakt, met als argument dat , maar meestal zelfs zonder argument.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1148
Geregistreerd: 21 Jan 2006, 15:09
Woonplaats: Krimpen aan den IJssel

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor David » 16 Dec 2010, 22:43

Dat kan je onderbouwen door:

Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor Sjoerd Job » 17 Dec 2010, 11:03

David schreef:Dat kan je onderbouwen door:


Jij gebruikt als , wat iets heel anders is.

Je kan het probleem inderdaad `omzeilen', maar je moet er toch altijd woorden aan vuil maken.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1148
Geregistreerd: 21 Jan 2006, 15:09
Woonplaats: Krimpen aan den IJssel

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor David » 17 Dec 2010, 11:25

Ja, dat was niet zo "zuiver."

Splitsen in en (we hadden al )
Voor a>0:


Voor a<0


Stellen beiden hetzelfde voor, dus
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor arie » 17 Dec 2010, 12:38

Natuurlijk vindt ik mijn bewijs het mooiste ;-), omdat het kort is en aansluit bij de manier waarop je de vergelijking zonder kennis van de abc-formule met de hand zou oplossen.

Het bewijs van Sjoerd Job is beter omdat dit met een kleine omweg (= vermenigvuldiging met 4a) een heleboel discussie voorkomt.
Niet alleen het plus/min of min/plus probleem, maar ook de wortel-splitsing die we hier nog niet besproken hebben:



Voor nog meer zuiverheid moet je vermelden dat deze stap mogelijk is omdat de noemer gegarandeerd positief is (a ongelijk nul, dus 4a^2>0).
In R is dit een voorwaarde, vergelijk



Sjoerd Job voorkomt ook dit probleem, en verdient daarom wat mij betreft de beste-bewijs-prijs.
arie
Moderator
Moderator
 
Berichten: 3033
Geregistreerd: 09 Mei 2008, 09:19

Re: Afleiding abc-formule.

Berichtdoor SafeX » 17 Dec 2010, 15:49

Bedankt voor jullie bijdrage.
De reden waarom ik dit vroeg was om te weten hoe jullie dit zouden aanpakken. In 't bijzonder om te zien of de manier van Sjoerd Job algemeen bekend is.
In de leerboeken die ik onder ogen heb gehad ben ik het niet tegengekomen.
Nu heb ik niet voor niets de drie termen benoemd. Merkwaardig genoeg is dit niet overgenomen terwijl in het hanteren van de formule hier juist de meeste fouten gemaakt worden.

We gaan uit van reële coëfficiënten a, b en c en van reële oplossingen voor x.
a als coëfficiënt van de kwadratische term. b van de lineaire term en c de constante term.
a=b=c=0 levert een identiteit dus de opl verz is R.
a=b=0 geeft een valse verg, geen opl.
a=0 => lineaire verg: x=-c/b
c=0 => standaard ontbinding: ax(x+b/a)=0 <=> x=0 of x=-b/a.
Het meest interessant: a, b en c ongelijk 0. De lineaire term wordt opgenomen in een geheel kwadraat door de techniek van kwadraat afsplitsen. Maar daarvoor vermenigvuldigen met 4a (dit mag, a ongelijk 0), dit om van de kwadratische term een volledig kwadraat te maken:



D noemen we voortaan de discriminant omdat deze de aantallen opl onderscheidt (discrimineert)
1. D>0 twee (reele) opl
2. D=0, één opl.
3. D<0, geen opl.
De opl verz.:

Constatering: a ongelijk 0 levert ten hoogste twee opl.

Opm: Ik heb al eens eerder deze afleiding op internet gezet, alleen zou ik nu niet meer weten waar.
.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14208
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Volgende

Terug naar Tutorials en Minicursussen

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten

cron

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.