divergentie? nooit van gehoord.

Heb je een leuke tutorial, een duidelijke uitleg van een bepaald onderwerp, een interessante minicursus of heb je een leuk trucje gevonden, post het hier.

divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor op=op » 20 Feb 2011, 09:48

In het begin van de 18-de eeuw waren er onder wetenschappers eindeloze discussies over de som
1-1+1-1+1-1+...
Als je de som zo schrijft (1-1)+(1-1)+...
dan komt er overduidelijk 0 uit.
Maar je zou de termen ook anders kunnen samennemen
1-(1-1)-(1-1)-... en dan komt er 1 uit.
Als we som S noemen, dan is
S = 1-(1-1+1-1+...) = 1-S waaruit volgt S=1/2.
Grandi gebruikte de reeksontwikkeling
.
Hij vulde hierin x=1 in en kwam tot de conclusie dat de som 1/2 moest zijn.
Hij merkte daarbij nog op dat daar de som zowel 0 als 1/2 was, hij bewezen had dat de wereld uit het niets kon worden geschapen.
Leibniz vond dat uit de partiële sommen 1,0,1,0,1,... bleek dat de kans op een 1 gelijk was aan de kans op 0, dus dat 1/2 de juiste waarde was voor S.
Euler gebruikte net als Grandi de reeksontwikkeling en kwam ook op S=1/2.
Hij ging nog wat verder. Uit

concludeerde Euler na invullen van x=-1 dat
.
Na invullen van in
volgt .
De termen van deze reeks zijn steeds groter of gelijk aan de overeenkomstige termen van de voorgaande reeks, waaruit Euler comcludeerde dat -1 groter is dan oneindig.
Volgens sommigen waren de negatieve getallen voorbij oneindig anders dan de negatieve getallen die voor 0 zaten. Euler was het daar niet mee eens en vond dat zowel 0 als oneindig de positieve van de negatieve getallen scheiden.
Zie ter illustratie nog het "stijgende" rijtje
.
Het was Euler bekend dat de som van een reeks soms bepaald kon worden aan de hand van zijn partiële sommen en soms niet, maar de begrippen als convergentie of divergentie kwamen niet bij hem op. Volgens hem lag de rechtvaardiging voor het toekennen van een som aan een (divergente) reeks slechts in het substitutieprincipe.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor David » 20 Feb 2011, 23:04








E(S):= de verwachtingswaarde van S


op=op schreef:Na invullen van in
volgt .


Euler (neem ik aan) is vergeten dat
voor |x|<1.

|2|>1, dus dat gaat niet op.

op=op schreef:


Ik krijg:



is ongedefinieerd, ik zou niet voor oneindig gaan.

Maar leuke gedachten, hoe heeft Euler
gedefinieerd? (Ze divergeert of convergeert niet, dus...?)
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor op=op » 21 Feb 2011, 09:59

David schreef:Euler (neem ik aan) is vergeten dat
voor |x|<1.

Probeer je in te leven in die tijd.
Zoals de onderwerptitel aangeeft waren begrippen als convergentie of divergentie onbekend.
Om b.v. de som te berekenen gaf hij een aantal afleidingen.
Al die afleidingen leidden naar eenzelfde getal S, waaruit hij concludeerde dat die som buiten elke redelijke twijfel S moest zijn temeer daar dat getal S een ingewikkelde uitdrukking is waarin o.a. het getal en Euler's constante voorkomt.

Wat je onder de som van een reeks verstaat is een kwestie van interpretatie en afspraken. In die tijd zag men dat men de som van een reeks soms steeds dichter kon benaderen door alsmaar meer termen mee te nemen,
maar soms kon dat niet op die manier. Wat is dan de betekenis van b.v.
Volgens Euler moest je het algebraisch benaderen. Er geldt algebraïsch
.
Vervolgens mag je elke waarde voor x invullen b.v. x=1. Dan is .
Hij zag als een getal en in die tijd was .
De methode was consistent, niet tegenstrijdig, en dat is wat van belang is.
De begrippen convergentie en divergentie zijn pas ontstaan tegen het einde van de 19-de eeuw toen men heel pietluttig de wiskunde formeel ging opzetten, mede omdat vrijheid blijheid tot ongerijmdheden leidde.

David schreef:Maar leuke gedachten, hoe heeft Euler
gedefinieerd?


Euler gaf de volgende bizarre interpretatie van differentialen:

De stapgrootte is 1 dus in dit discrete geval is .
Dan is .
""integreren""

Om die constante C te vinden bedacht hij de volgende brilliante methode:

(-1 invullen geeft dat ).

Dan is
ofwel

Sommeer nu beide leden van x=1 t/m n:

Dus
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor David » 21 Feb 2011, 18:16

op=op schreef:Probeer je in te leven in die tijd.

Graag! Ik vind het interessant te kijken wat je allemaal kan bewijzen onder zekere aannamen.

Maar deze redenatie van Euler blijf ik bijzonder vinden.
Ondanks dat in die tijd misschien niet bekend was dat
voor |x|<1, zou je ook een getallenlijn kunnen gebruiken, (=1-dimensionaal!). Je begint bij 0. Hoe meer naar rechts hoe groter het getal. Door een positief getal op te tellen bij het vorige wordt het getal groter en ga je naar rechts op de getallenlijn.
Voor |x|>2, kom je niet "in de buurt van een getal" (nu: convergeert). En opeens komen ze links van -1?? (-1 is groter dan de som van de reeks) Of vormde de "getallenlijn" een ring in die tijd?

Als we oneindig als getal zien:


, daarom
Wat had Euler hiervan gezegd?

Zei hij ook: dus;


Voor ... (rest plaats ik nog)
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor David » 21 Feb 2011, 19:19

als f(c) gebonden is en f(x) continu over [c-h,c+j], h,j>0, dan

Als we de bovenste regel naast ons leggen,

Hoewel, kan ook zijn.

Afbeelding
Aan de linkerkant van x=0 gaat die naar
Dan zou ik eerder zeggen:

Ik schreef:Voor ... (rest plaats ik nog)


Uit

(af te leiden met de Gamma-functie)

Volgt:


Dan geeft dat met:
op=op schreef:




Volgens Euler.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor op=op » 21 Feb 2011, 20:10

Volgens Euler kon elke waarde aannemen daar voor elke reële n en dus .
Hij meende verder dat als twee nullen een willekeurige verhouding kunnen hebben, dat dan verschillende symbolen moeten worden gebruikt voor de nullen in de teller en noemer.
Euler nam daarvoor de differentiaalnotatie van Leibnitz over.
B.v. . Voor hem was , en , maar deze nullen waren verschillend, zodat die niet verward kunnen worden als hun verhouding wordt onderzocht.
Zie hier hoe hij aantoonde dat hogere orden verwaarloosd konden worden. Voor orde 2 betekent dat
dat moet gelden .
Dat volgt rechtstreeks uit .
Voor ons is dit meer abacadabra.

voor positieve reële .
Uiteraard zou het met even goed recht kunnen zijn, maar Euler liet het van de context afhangen welke waarde de juiste is. Zo'n houding zouden wij heden niet accepteren.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor David » 21 Feb 2011, 21:24

De bewering over dat \frac{0}{0} elke waarde kan hebben lijkt me op huidige gedachten over de breuk.
Tegenwoordig is een onbepaalde vorm, net als n en als 0^0, hoewel ik hoorde dat de laatste gelijk aan 1 is (te Univ. Leiden +- 3 jaar geleden).

op=op schreef: Voor orde 2 betekent dat
dat moet gelden .
Dat volgt rechtstreeks uit .

Dit lijkt erg inconsequent met eerdere gedachten.
Laat ons aannemen:
Met dx=0, geeft dat:

Anders:
Hij gebruikt dat 2 dezelfde getallen door elkaar delen 1 levert, zonder de uitzondering voor 0.

a:=dx en dx:=a lijkt me verwerpelijk zonder enige restricties voor a. [1]
Hij stelt in feite:
Met [1] krijgen we:
voor a Als a=0, dan 0/0=1. Onder [1] geldt juist a:=0.

op=op schreef:...maar Euler liet het van de context afhangen welke waarde de juiste is. Zo'n houding zouden wij heden niet accepteren.

Volgens wikipedia wordt de context nog gebruikt voor het wel of niet definiëren van 0^0.
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_zero_power schreef:Most authors agree with the statements related to in the two lists below, but make different decisions when it comes to defining or not...
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor op=op » 23 Feb 2011, 10:45

In de tijd van Euler was het limietbegrip nog niet uitgevonden.
Alle natuurkundigen beschouwden als een infinitaal kleine grootheid.
Euler zag in dat dit tot tegenstrijdigheden leidde en kwam tot de correcte conclusie dat ,
en dus niet zo iets onzinnigs als "oneindig klein" is.
Hij hanteerde de regel , maar welke waarde hier heeft hangt af van aard van de 0 in de teller en van de noemer.
Hoewel is omdat de aard van de 0 in de teller (hier dx) identiek is aan de aard van de 0 in de noemer (ook dx).
Neem de lijn .
Dan is .
Nu is .
De aarde van de 0 in de teller (5dx) is hier anders dan de aard van de 0 in de noemer (dx).

is niet gedefinieerd, maar daar waar je het tegenkomt is het altijd vastgelegd als zijnde 1.

Hoewel we weten dat geen breuk is noemen we het toch differentiaalquotient en schrijven we net zulke lariekoek als in de tijd van Euler gebruikelijk was.
We schrijven , waarbij we dus doen alsof wel een breuk is.
De enige reden waarom we dat doen is dat we het ons daarmee makkelijk maken.
Euler in zijn tijd maakte het zich ook makkelijk door met divergente rijen te knoeien.
Ik ben er van overtuigd, dat als hij zich aan onze convergentieregels had gehouden hij een aantal van zijn formules niet zou hebben gevonden. Het is ook niet erg om te knoeien, als je je er maar van bewust bent dat je aan het knoeien bent. Het probleem is vaak dat knoeiers zich niet bewust zijn dat ze aan het knoeien zijn en dat ze serieus menen dat wat ze doen serieus en correct is.
Als iemand zegt "dat most niet magge" dan kan ik dat grappig vinden als ik weet dat de ander wel weet dat dat niet correct Nederlands is. Het wordt anders als het komt uit een mond van een persoon waarvan ik vermoed dat hij niet weet dat dat verkeerd Nederlands is.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor op=op » 28 Feb 2011, 09:24

In deze stille periode nog maar eens een trucje uit Euler's goocheldoos.
Euler's doorbraak als wiskundige was met zijn ontdekking van de som
.
Hij heeft over deze som enkele artikelen geschreven en meerdere bewijzen gegeven.
Hier een van zijn bewijzen:
Uitgangspunt is het bekende

Hierin substitueren we , dan is
.
Het reële deel geeft
.
Twee maal integreren van 0 tot theta geeft
.
Substitueer :
.
en hieruit volgt eenvoudig dat
.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor David » 03 Mrt 2011, 00:22

op=op schreef:In deze stille periode nog maar eens een trucje uit Euler's goocheldoos.

Dan laat ik me de afleiding voor
Ik schreef:Uit

(af te leiden met de Gamma-functie)

eens zien.

http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html schreef:
...





( )
Substitueer:


Substitueer n-1=x:

Dat is voor gehele x.

Zodat bijv.
, geldt:

Dit is niet wat ik eerst in gedachten had En het volgende is onjuist:.

Stel:
voor x positief.
dan, met de productregel:

Je kon ook zeggen:
voor x positief.


Evenzo, stel:
voor x positief.
dan


Substitueer dan: x=1, zodat

en

Ik vond dat het laatste onjuist was met behulp van wolframalpha;
de definitie van een afgeleide,
toegepast op de faculteitsfunctie in wolfram.
De uitkomst (voor kleine, 10^-10, waarde voor h te gebruiken), liet me zien dat het niet klopte en leidde me ook naar eerstgegeven afleiding.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor op=op » 03 Mrt 2011, 08:37



Substitueer dan: x=1, zodat

en
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor David » 03 Mrt 2011, 11:13

Bedankt voor het corrigeren, Ik zag nog 1.


en


Maar als n=3, krijgen we g(1)=4! (Bijzonder, want g(1), kan verschillende waarden aannemen, dus ik denk dat we hebben:

(Met invullen van x=1 vervalt een variabele)
Zodat
en

Maar deze functie is niet de afgeleide van de faculteitsfunctie.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor op=op » 03 Mrt 2011, 12:07

Als je zoekt naar een functie f op met voor , dan kun je nemen .
Dat is niet de enige functie die voldoet. Zelfs niet de enige analytische.
B.v. voldoet met holomorf en gedefinieerd op .
Hadamard vond een perfecte faculteitsfunctie, die overal op gedefinieerd is (dus zonder polen), n.l.
.
Euler's gammafunctie is uniek in die zin dat het de enige functie is die positief is voor x>0 en waarvoor en waarvoor en die logaritmisch convex is voor x>0.
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor David » 03 Mrt 2011, 12:54

op=op schreef:Als je zoekt naar een functie f op met voor , dan kun je nemen
.

Nee, ik was op zoek naar een functie f op met voor . De verzameling is anders.
Ik had al gebruik gemaakt voor het bewijs van , dat geldt voor of zelfs , door
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html schreef:The (complete) gamma function is defined to be an extension of the factorial to complex and real number arguments. It is related to the factorial by


(zonder links in de quote)
Ik wilde dus ook een afgeleide voor de faculteitsfunctie die waar is voor alle
Tot nu toe is dat gelukt voor alle

op=op schreef:Als je zoekt naar een functie f op met voor , dan kun je nemen .
Dat is niet de enige functie die voldoet. Zelfs niet de enige analytische.
B.v. voldoet met holomorf en gedefinieerd op .
Hadamard vond een perfecte faculteitsfunctie, die overal op gedefinieerd is (dus zonder polen), n.l.
.
Euler's gammafunctie is uniek in die zin dat het de enige functie is die positief is voor x>0 en waarvoor en waarvoor en die logaritmisch convex is voor x>0.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: divergentie? nooit van gehoord.

Berichtdoor op=op » 06 Mrt 2011, 10:49

Nog eentje uit Euler's goocheldoos. Zelfs Euler had twijfels of het allemaal zomaar kon.
Stel een polynoom
heeft als nulpunten , dan is

en als we de tweede coëfficient vergelijken is
.

.
De sinus/x heeft als nulpunten .
Dus
en dus
zodat
Gebruikers-avatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1096
Geregistreerd: 23 Apr 2010, 18:11


Terug naar Tutorials en Minicursussen

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.