divergentie? nooit van gehoord.
Geplaatst: 20 feb 2011, 09:48
In het begin van de 18-de eeuw waren er onder wetenschappers eindeloze discussies over de som
1-1+1-1+1-1+...
Als je de som zo schrijft (1-1)+(1-1)+...
dan komt er overduidelijk 0 uit.
Maar je zou de termen ook anders kunnen samennemen
1-(1-1)-(1-1)-... en dan komt er 1 uit.
Als we som S noemen, dan is
S = 1-(1-1+1-1+...) = 1-S waaruit volgt S=1/2.
Grandi gebruikte de reeksontwikkeling
.
Hij vulde hierin x=1 in en kwam tot de conclusie dat de som 1/2 moest zijn.
Hij merkte daarbij nog op dat daar de som zowel 0 als 1/2 was, hij bewezen had dat de wereld uit het niets kon worden geschapen.
Leibniz vond dat uit de partiële sommen 1,0,1,0,1,... bleek dat de kans op een 1 gelijk was aan de kans op 0, dus dat 1/2 de juiste waarde was voor S.
Euler gebruikte net als Grandi de reeksontwikkeling en kwam ook op S=1/2.
Hij ging nog wat verder. Uit
concludeerde Euler na invullen van x=-1 dat
.
Na invullen van in
volgt .
De termen van deze reeks zijn steeds groter of gelijk aan de overeenkomstige termen van de voorgaande reeks, waaruit Euler comcludeerde dat -1 groter is dan oneindig.
Volgens sommigen waren de negatieve getallen voorbij oneindig anders dan de negatieve getallen die voor 0 zaten. Euler was het daar niet mee eens en vond dat zowel 0 als oneindig de positieve van de negatieve getallen scheiden.
Zie ter illustratie nog het "stijgende" rijtje
.
Het was Euler bekend dat de som van een reeks soms bepaald kon worden aan de hand van zijn partiële sommen en soms niet, maar de begrippen als convergentie of divergentie kwamen niet bij hem op. Volgens hem lag de rechtvaardiging voor het toekennen van een som aan een (divergente) reeks slechts in het substitutieprincipe.
1-1+1-1+1-1+...
Als je de som zo schrijft (1-1)+(1-1)+...
dan komt er overduidelijk 0 uit.
Maar je zou de termen ook anders kunnen samennemen
1-(1-1)-(1-1)-... en dan komt er 1 uit.
Als we som S noemen, dan is
S = 1-(1-1+1-1+...) = 1-S waaruit volgt S=1/2.
Grandi gebruikte de reeksontwikkeling
.
Hij vulde hierin x=1 in en kwam tot de conclusie dat de som 1/2 moest zijn.
Hij merkte daarbij nog op dat daar de som zowel 0 als 1/2 was, hij bewezen had dat de wereld uit het niets kon worden geschapen.
Leibniz vond dat uit de partiële sommen 1,0,1,0,1,... bleek dat de kans op een 1 gelijk was aan de kans op 0, dus dat 1/2 de juiste waarde was voor S.
Euler gebruikte net als Grandi de reeksontwikkeling en kwam ook op S=1/2.
Hij ging nog wat verder. Uit
concludeerde Euler na invullen van x=-1 dat
.
Na invullen van in
volgt .
De termen van deze reeks zijn steeds groter of gelijk aan de overeenkomstige termen van de voorgaande reeks, waaruit Euler comcludeerde dat -1 groter is dan oneindig.
Volgens sommigen waren de negatieve getallen voorbij oneindig anders dan de negatieve getallen die voor 0 zaten. Euler was het daar niet mee eens en vond dat zowel 0 als oneindig de positieve van de negatieve getallen scheiden.
Zie ter illustratie nog het "stijgende" rijtje
.
Het was Euler bekend dat de som van een reeks soms bepaald kon worden aan de hand van zijn partiële sommen en soms niet, maar de begrippen als convergentie of divergentie kwamen niet bij hem op. Volgens hem lag de rechtvaardiging voor het toekennen van een som aan een (divergente) reeks slechts in het substitutieprincipe.