oneindig lange formules

Heb je een leuke tutorial, een duidelijke uitleg van een bepaald onderwerp, een interessante minicursus of heb je een leuk trucje gevonden, post het hier.

oneindig lange formules

Berichtdoor barto » 05 Dec 2011, 16:50

Het zou wel eens kunnen dat je een oneindig lange formule tegenkomt in een wiskunde-oefening. Als er een patroon te vinden is, kun je het oplossen.

vb1:

Je ziet onmiddellijk dat
Die vergelijking kun je gemakkelijk oplossen en je krijgt of

vb2:

Je vindt dat
Die kun je ook oplossen en je vindt dezelfde oplossingen als hierboven.

vb3:
Met variabelen kan het ook:

Je vindt:
of misschien beter te zien: (een meer algemene weg)

vb4:

Ziet er misschien ingewikkeld uit, maar kijk hoe het is opgebouwd:
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Gebruikers-avatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 656
Geregistreerd: 07 Jun 2011, 16:02

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor David » 05 Dec 2011, 17:04

Voorbeeld 1).

Dus x >= 0 toch?

Barto schreef:Als er een patroon te vinden is, kun je het oplossen.

Heeft dit je al geholpen voor het vermoeden van Collatz? (Het kan helpen het vermoeden anders te omschrijven dan tot nu toe).
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor wnvl » 05 Dec 2011, 17:40

Als je van dit soort formules houdt, moet je onderstaand product eens proberen uit te rekenen.
De formule convergeert in elk geval.

Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor barto » 06 Dec 2011, 14:15

als je kunt bewijzen dat elke breuk kleiner is dan 1 is x=0 denk ik.
dus voor de eerste: teller<noemer?


de tweede:


dus met inductie:


en voor k=1 is het bovenaan bewezen, dus elke breuk is kleiner dan 1
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Gebruikers-avatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 656
Geregistreerd: 07 Jun 2011, 16:02

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor barto » 06 Dec 2011, 14:24

David schreef:Voorbeeld 1).

Dus x >= 0 toch?

hmm ja

uiteraard hangt het weer af van de notatie van vierkantswortels.
als je de notatie noemt voor de positieve wortel begrijp ik wat je bedoelt.
en dan is een foute interpretatie
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Gebruikers-avatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 656
Geregistreerd: 07 Jun 2011, 16:02

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor wnvl » 06 Dec 2011, 16:21

barto schreef:als je kunt bewijzen dat elke breuk kleiner is dan 1 is x=0 denk ik.
dus voor de eerste: teller<noemer?


de tweede:


dus met inductie:


en voor k=1 is het bovenaan bewezen, dus elke breuk is kleiner dan 1


Niet slecht geprobeerd, maar als k naar gaat, evolueert naar 2. De factor evolueert dus in de limiet naar 1, daarom mag je zomaar niet concluderen dat het product divergeert naar 0.

De oplossing is niet zo eenvoudig te vinden. Dit product blijkt heel verrassend te convergeren naar .

Voor meer info over dit product, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formula
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor barto » 08 Dec 2011, 13:53

toch nog steeds vreemd, bekijk dit eens:

hier naderen de breuken ook naar 1/1, terwijl het geheel nadert naar 0:
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Gebruikers-avatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 656
Geregistreerd: 07 Jun 2011, 16:02

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor David » 10 Dec 2011, 15:36

barto schreef:
David schreef:Voorbeeld 1).

Dus x >= 0 toch?

hmm ja

uiteraard hangt het weer af van de notatie van vierkantswortels.
als je de notatie noemt voor de positieve wortel begrijp ik wat je bedoelt.
en dan is een foute interpretatie

Ik vind het niet verkeerd om x^2 = x + 1 te gebruiken. Je hebt een techniek geleerd om die vergelijking op te lossen, en die gebruik je om x te vinden zodat .
Maar dan moet je stellen x >= 0 voor het kwadrateren. Als je je oplossingen controleert zit je helemaal goed. Voor wordt doorgaans (altijd) de positieve wortel genomen.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
David
Moderator
Moderator
 
Berichten: 4935
Geregistreerd: 14 Mei 2009, 16:22

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor wnvl » 10 Dec 2011, 19:45

barto schreef:toch nog steeds vreemd, bekijk dit eens:

hier naderen de breuken ook naar 1/1, terwijl het geheel nadert naar 0:


Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor barto » 14 Dec 2011, 14:53

ik zou toch zeggen dat
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Gebruikers-avatar
barto
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 656
Geregistreerd: 07 Jun 2011, 16:02

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor SafeX » 15 Dec 2011, 09:20

wnvl schreef:Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.

Welke laatste factor ...

Opm: Overigens hoort dit niet bij Tutorials
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14184
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor wnvl » 15 Dec 2011, 21:26

SafeX schreef:
wnvl schreef:Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.

Welke laatste factor ...

Ik heb het hier over de laatste factor van een oneindig product

is een nodige maar geen voldoende voorwaarde voor convergentie.


SafeX schreef:Opm: Overigens hoort dit niet bij Tutorials


ja, misschien moeten we een tutorial over convergentiecriteria van oneindige producten starten
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor SafeX » 15 Dec 2011, 22:25

Een oneindig voortlopende reeks heeft geen laatste term ...
Je kan wel spreken over de n-de term ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14184
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor wnvl » 16 Dec 2011, 10:19

SafeX schreef:Een oneindig voortlopende reeks heeft geen laatste term ...
Je kan wel spreken over de n-de term ...


Laatste term is inderdaad slecht uitgedrukt, bedoel , maar dat zal iedereen wel begrepen hebben zeker.
Gebruikers-avatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
 
Berichten: 1493
Geregistreerd: 05 Okt 2011, 16:30

Re: oneindig lange formules

Berichtdoor SafeX » 16 Dec 2011, 11:16

Ok, definieer nu:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:
wnvl schreef:
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14184
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Volgende

Terug naar Tutorials en Minicursussen

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 2 gasten

cron

Wie is er online?

Er zijn in totaal 2 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 2 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 2 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.