Pagina 2 van 3
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 dec 2011, 11:48
door wnvl
SafeX schreef:Ok, definieer nu:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:
wnvl schreef:
en het product divergeert naar 0. Dit is een voorbeeld van een product dat divergeert, hoewel de factor
in de limiet convergeert naar 1.
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 dec 2011, 12:05
door SafeX
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 dec 2011, 12:21
door wnvl
SafeX schreef:
OK, je bedoelt met
het product van de eerste n factoren, dit divergeert inderdaad naar nul als n naar oneindig gaat. Ik dacht dat je met
de n'de factor bedoelde, die naar 1 convergeert als n naar oneindig gaat.
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 dec 2011, 12:30
door SafeX
Heb je dit dan wel goed gelezen?
SafeX schreef:Ok, definieer nu:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:
wnvl schreef:
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 dec 2011, 12:43
door wnvl
SafeX schreef:Heb je dit dan wel goed gelezen?
SafeX schreef:Ok, definieer nu:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:
wnvl schreef:
Had het blijkbaar NIET goed gelezen. Excuses.
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 dec 2011, 12:44
door Sjoerd Job
wnvl schreef:SafeX schreef:wnvl schreef:
Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.
Welke laatste factor ...
Ik heb het hier over de laatste factor van een oneindig product
is een nodige maar geen voldoende voorwaarde voor convergentie.
SafeX schreef:
Opm: Overigens hoort dit niet bij Tutorials
ja, misschien moeten we een tutorial over convergentiecriteria van oneindige producten starten
Uhm, als
kan je ook convergentie hebben (kies bijvoorbeeld
constant
met limiet
!
(Sorry, ik lees net dat jij een limiet divergerend durft te noemen als de limiet convergeert naar 0)
(EDIT: Sterker nog, als
voor alle
, dan convergeert de limiet. Reden hiervoor is dat
een dalende, naar onder begrensde rij is)
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 dec 2011, 12:59
door wnvl
(Sorry, ik lees net dat jij een limiet divergerend durft te noemen als de limiet convergeert naar 0)
(EDIT: Sterker nog, als
voor alle
, dan convergeert de limiet. Reden hiervoor is dat
een dalende, naar onder begrensde rij is)
Daar bestaan veel misvattingen over, maar een oneindig product dat naar nul gaat wordt divergent genoemd niet alleen door mezelf, maar door de hele "wiskundegemeenschap" . Reden is dat het logaritme in dat geval naar oneindig gaat.
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 dec 2011, 15:25
door Sjoerd Job
wnvl schreef:(Sorry, ik lees net dat jij een limiet divergerend durft te noemen als de limiet convergeert naar 0)
(EDIT: Sterker nog, als
voor alle
, dan convergeert de limiet. Reden hiervoor is dat
een dalende, naar onder begrensde rij is)
Daar bestaan veel misvattingen over, maar een oneindig product dat naar nul gaat wordt divergent genoemd niet alleen door mezelf, maar door de hele "wiskundegemeenschap" . Reden is dat het logaritme in dat geval naar oneindig gaat.
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product
Mijn excuses, hier was ik nog niet van op de hoogte. Ik neem aan dat je dan wel -oneindig bedoelt?
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 dec 2011, 18:21
door wnvl
Sjoerd Job schreef:wnvl schreef:(Sorry, ik lees net dat jij een limiet divergerend durft te noemen als de limiet convergeert naar 0)
(EDIT: Sterker nog, als
voor alle
, dan convergeert de limiet. Reden hiervoor is dat
een dalende, naar onder begrensde rij is)
Daar bestaan veel misvattingen over, maar een oneindig product dat naar nul gaat wordt divergent genoemd niet alleen door mezelf, maar door de hele "wiskundegemeenschap" . Reden is dat het logaritme in dat geval naar oneindig gaat.
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product
Mijn excuses, hier was ik nog niet van op de hoogte. Ik neem aan dat je dan wel -oneindig bedoelt?
Inderdaad.
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 15 jul 2012, 21:59
door barto
Je kunt op deze manier ook eenvoudig de som van een oneindige convergente meetkundige rij bepalen:
Voorbeeld:
en je ziet dat
waaruit
Daar valt ook heel gemakkelijk het algemene formuletje (
) uit af te leiden zonder limieten en convergentie te gebruiken. (t1 is de eerste term en q het quotiënt)
Vreemd genoeg krijg je bij een som als deze ook een niet-oneindige oplossing:
Je vindt
en dus het volstrekt logische
Daar moet zeker een goede verklaring voor zijn.
Ook leuk dat je met
kan vermenigvuldigen:
Bij het eerste bvb:
en daaruit volgt dezelfde oplossing voor s.
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 16 jul 2012, 20:09
door arie
Rekenen met oneindig geeft problemen.
Deel
links en rechts eens door s (= ongelijk nul) en laat vervolgens s naar oneindig gaan.
Wat krijg je dan?
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 17 jul 2012, 05:27
door Sjoerd Job
Dit is zeker waar in de 2-adische metriek:
waar
maximaal is met
(voorbeeld:
,
,
,
)
In deze metriek geldt:
,
, en
(eigenlijk gaat 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... al naar (-1)...)
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 18 jul 2012, 08:48
door barto
Heb de verklaring gevonden:
we hebben s = 2s+2, geen probleem tot hier toe.
Er is echter niet gegeven dat s een reëel getal is dus is het niet toegestaan om dan links en rechts 2s van af te trekken, zodat je
s - 2s = (2s - 2 ) -2s
krijgt. (commutativiteit, associativiteit, ... gelden ook niet per sé)
Want we hebben in ons derde jaartje toch geleerd: "We mogen bij een gelijkheid links en rechts hetzelfde reëel getal optellen."
Nu zie ik dus het eerste voorbeeld dat die "reëel" er niet voor niets staat
.
Op zich is ±oneindig wel een oplossing van
s = 2s+2
maar die kun je er zo niet uithalen.
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 20 jul 2012, 15:04
door Dylan M
Ik weet dat dit nu niet te maken heeft, maar ik vraag het toch omdat ik het graag wil weten. Het gaat over
David schreef:Ik vind het niet verkeerd om x^2 = x + 1 te gebruiken. Je hebt een techniek geleerd om die vergelijking op te lossen, en die gebruik je om x te vinden zodat
.
Maar dan moet je stellen x >= 0 voor het kwadrateren. Als je je oplossingen controleert zit je helemaal goed. Voor
wordt doorgaans (altijd) de positieve wortel genomen.
Waarover er in het begin geroddeld werd.Maar is het niet zo dat
moet zijn. Aangezien
... of vergis ik me ?
Alvast bedankt, Dylan M.
Re: oneindig lange formules
Geplaatst: 20 jul 2012, 16:03
door David
We hebben daarover gepraat.
Maar goede vraag.
Als je stelt: x>=-1, laat je dus negatieve oplossingen toe voor x. Maar uit een vierkantswortel komen alleen niet-negatieve getallen, dus voor negatieve x zijn er geen oplossingen. (Let op dat ik zeg: "niet-negatieve" i.p.v. bijv. positieve, om x = 0 in overweging te nemen).