Werken met haakjes: 1 Haakjes wegwerken

Heb je een leuke tutorial, een duidelijke uitleg van een bepaald onderwerp, een interessante minicursus of heb je een leuk trucje gevonden, post het hier.
SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14217
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Werken met haakjes: 1 Haakjes wegwerken

Bericht door SafeX » 30 dec 2011, 17:51

a(b+c) hier staat het product van de factoren a en b+c, in woorden: a maal b+c
(1) a(b+c)=ab+ac, dit is de distributieve eigenschap (van de vermenigvuldiging tov de optelling).
Dit is eenvoudig na te gaan met eenvoudige getallen.
Vb: 3(2+5)=3*2+3*5, ga dit na.

(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
merk op: twee factoren a+b en p+q met ieder twee termen a en b, p en q.
Waarom is dit zo, maw bewijs:
Bewijs: beschouw a+b als een geheel en pas (1) toe, dus:
(a+b)(p+q)=(a+b)p+(a+b)q= ...
nogmaals (1) tweemaal geeft:
...=ap+aq+bp+bq, einde bewijs.
Bv: (5-2)(3+7)=5*3+5*7-2*3-2*7, ga dit na.
Dit is eenvoudig uit te breiden naar factoren met meer termen.
Bv:

Eerste factor met k termen.
Tweede factor met m termen.
Product: k*m termen.

Bijzondere producten:
(a+b)(a-b)=a²-b², ga dit na.
(a+b)²=a²+2ab+b²
Het is niet nodig apart (a-b)² uit te werken, waarom?
Deze producten worden merkwaardige producten genoemd (waarom denk je?).

Het is noodzakelijk deze producten uit het hoofd te kennen en herkennen.
Daarvoor is het uitdrukken in woorden heel belangrijk, vb:
(a+b)(a-b) het product van twee factoren met zelfde termen a en tegengestelde termen b geeft als resultaat het verschil van de kwadraten van a en b, dwz a²-b².
Probeer de volgende onder woorden te brengen ...

Dit wordt verder uitgebreid met:
(x+a)(x+b)=x²+xb+ax+ab=x²+(a+b)x+ab, waarom die laatste stap? x de term die in beide factoren voorkomt wordt gezien als een (onafhankelijk) variabele terwijl a en b getallen zijn. de uitkomst wordt dan gerangschikt naar machten van x en a+b is immers een getal ...
(x-3)(x+5)=x²+2x-15, ga dat na.

(a+b)³=(a+b)²(a+b)=... , werk dit verder uit.
Een andere mogelijkheid is:
(a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)=...
We weten nu dat elke term uit één der factoren vermenigvuldigd moet worden met een term uit elk van de andere twee factoren, dus:
We kiezen uit alle drie factoren a dat geeft a³
Uit twee factoren kiezen we a en uit de derde b, dat geeft a²b maar dat driemaal, waarom?
Uit één factor a en uit de andere twee b, dat geeft dus 3ab²
Tenslotte kiezen we uit alle drie factoren b, dat geeft b³
Resultaat: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Merk op: totaal 8 termen (klopt dat?), de som der exponenten van a en b is steeds 3.

Plaats reactie