exp(z)

Bericht door **op=op** » 05 feb 2012, 12:54

Wie voor het eerst met complexe getallen kennis maakt stuit op een verbluffende gelijkheid
$e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ .

In schoolcursussen voor complexe getallen zie ik telkens een bewijsmethode met reeksen,
terwijl het mijns inziens via meetkundige weg veel aannemelijker kan worden gemaakt.

We weten (of anders, kunnen eenvoudig aantonen) dat
$\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x$ voor reële $x$ .
We definiëren nu voor reële $\phi$ :
$e^{i\phi} := \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{i\phi}{n}\right)^n$ .

Merk op dat $(0,A,B) = (0,1,1+\frac{i\phi}{n})$ drie punten zijn van een driehoek BOA waarbij voor grote $n$ geldt dat hoek BOA nagenoeg gelijk is aan $\frac{\phi}{n}$ .
$\left( 1 + \frac{i\phi}{n}\right)^n$ krijg je door n van die driehoekjes met scherpe hoek $\frac{\phi}{n}$ aan elkaar te leggen.
Dat eindpunt ligt dan nagenoeg op de cirkel met straal 1 en maakt een hoek $\phi$ met de x-as.
Dat punt nadert dus tot $\cos(\phi)+i\sin(\phi)$ .