Gehele nulpunten van een veelterm

door **barto** » 27 Aug 2012, 11:12

Hier een techniek om, als er zijn, gehele nulpunten van een veelterm op te sporen.
Dit werkt alleen als alle coëfficiënten gehele getallen zijn!

Ik begin met de gekende: De getallen die in aanmerking komen zijn delers van de constante term.
VB: $V(x)=3x^3-6x^2-4x+8$ . De delers van $8$ zijn $-8,-4,-2,-1,1,2,4,8$ .
Dat zijn de enige mogelijkheden, maar je moet nog steeds controleren ofdat hun functiewaarde wel $0$ is. En als je ze een voor een controleert zou je moeten vinden dat $2$ alleen voldoet.

En nu een techniek die ik zelf heb uitgevonden:
Bereken de som van alle coëfficiënten, en noem die $s$ . Bepaal alle delers van $s$ , en tel er steeds $1$ bij op. De bekomen getallen zijn kandidaat-nulpunt.
VB: $V(x)=3x^3-6x^2-4x+8$ . De som $s=3-6-4+8=1$ . De delers van $1$ zijn $-1,1$ . Tel daar steeds $1$ bij op, en we bekomen $0,2$ . We moeten deze getallen nog controleren, en inderdaad blijkt $2$ de enige oplossing.

Het lijkt nu alsof die tweede techniek de handigste is, maar dat is ook niet steeds waar. Het beste is als je ze allebei gebruikt. De mogelijke oplossingen moeten dan bij elk van de technieken tevoorschijn komen.

Nu geef ik nog een bewijsje voor die laatste regel, voor wie het niet gelooft:
Laat $S(P)$ een functie zijn die de som van de cijfers van een veelterm $P$ geeft. (Dus eigenlijk is $S(P)=P(1)$ .)
Je hebt de veelterm $V(x)$ , en $a\in\mathbb Z$ is een nulpunt van $V$ .
Dat betekent dat $V(x)$ kan worden geschreven in de vorm $V(x)=(x-a)*Q(x)$ , waarbij $Q$ de quotiëntveelterm is.
We hebben dat $S(V)=S((x-a)*Q(x))=S(x*Q(x)-a*Q(x))=S(x*Q(x))-a*S(Q)=S(Q)-a*S(Q)=(1-a)*S(Q)$ .
Dus $a-1$ is een deler van $S(V)$ .

(Of korter: $S(V)=V(1)=(1-a)*Q(1)$ .)

Gehele nulpunten van een veelterm

Gehele nulpunten van een veelterm

Wie is er online?

Wie is er online?